平面向量基本定理

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1、平面向量基本定理教學(xué)目標(biāo)1．了解基底的含義，理解平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面內(nèi)任一向量．(重點(diǎn))2．掌握兩個(gè)向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義．(難點(diǎn))3．兩個(gè)向量的夾角與兩條直線所成的角．(易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1　平面向量基本定理閱讀教材P93至P94第六行以上內(nèi)容，完成下列問題．1．定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)一個(gè)平面內(nèi)只有一對

2、不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．(　　)(2)若e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量．(　　)(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，則a＝c，b＝d.(　　)解：(1)錯(cuò)誤．根據(jù)基底的概念可知，平面內(nèi)不共線的向量都可以作為該平面內(nèi)向量的基底．第20頁共20頁(2)正確．根據(jù)平面向量基本定理知對平面內(nèi)任意向量都可以由向量e1，e2線性表示．(3)錯(cuò)誤．當(dāng)e1與e2共線時(shí)，結(jié)論不一定成立．【答案】　(1)×　(2)√　(3)×教材整理2　兩向量的夾角與垂直閱讀教材P9

3、4第六行以下至例1內(nèi)容，完成下列問題．1.夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角(如圖2－3－1所示)．圖2－3－1(1)范圍：向量a與b的夾角的范圍是0°≤θ≤180°．(2)當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向．2．垂直：如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b．如圖2－3－2，在△ABC中，，的夾角與，的夾角的關(guān)系為________．圖2－3－2解：根據(jù)向量夾角定義可知向量，夾角為∠BAC，而向量第20頁共20頁，夾角為π－∠BAC．故二者互補(bǔ)．【答案】　互補(bǔ)[小組合作型]用基底表示向量　

4、(1)已知AD是△ABC的BC邊上的中線，若＝a，＝b，則＝(　　)A．(a－b)　　　　B．－(a－b)C．－(a＋b)D．(a＋b)(2)如圖2－3－3，設(shè)點(diǎn)P，Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若＝a，＝b，則＝________，＝________.(用a，b表示)圖2－3－3用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平行四邊形法則．解：　(1)如圖所示，因?yàn)椋剑?，所以＝(a＋b)．第20頁共20頁(2)＝－＝＋＝(－)＋＝＋＝a＋b，＝－＝＋＝(－)＋＝＋＝a＋b.【答案】　(1)D　(2)a＋b　a＋b平面向量基本定理的作用以及注意點(diǎn)：(1)根據(jù)

5、平面向量基本定理，任何一組基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，實(shí)質(zhì)上主要是利用三角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算．(2)要注意適當(dāng)選擇向量所在的三角形或平行四邊形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量與未知向量的關(guān)系，用方程的觀點(diǎn)求出未知向量．[再練一題]1．已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，若＝a，＝b用a，b表示，，.圖2－3－4第20頁共20頁【解】?。剑剑絘＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.向量的夾角問題　(1)(2016·韶關(guān)高一檢測)已知向量a，b，c滿足

6、

7、a

8、＝1，

9、b

10、＝2，c＝a＋b，c⊥a，則a，b的夾角等于________．(2)若a≠0，b≠0，且

11、a

12、＝

13、b

14、＝

15、a－b

16、，求a與a＋b的夾角．可作出平面圖形利用向量夾角定義及平面幾何知識(shí)來解決．解：(1)作＝a，＝b，則c＝a＋b＝(如圖所示)，則a，b夾角為180°－∠C．因?yàn)?/p>

17、a

18、＝1，

19、b

20、＝2，c⊥a，所以∠C＝60°，所以a，b的夾角為120°.【答案】　120°(2)由向量運(yùn)算的幾何意義知a＋b，a－b是以a、b為鄰邊的平行四邊形兩條對角線．如圖，∵

21、a

22、＝

23、b

24、＝

25、a－b

26、，第20頁共20頁∴∠BOA＝60°.又∵＝a＋b，且在菱形OACB中

27、，對角線OC平分∠BOA，∴a與a＋b的夾角是30°.兩向量夾角的實(shí)質(zhì)與求解方法：(1)兩向量夾角的實(shí)質(zhì)：從同一起點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)非零向量構(gòu)成的不大于平角的角，結(jié)合平面幾何知識(shí)加以解決．(2)求解方法：利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作出兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．[再練一題]2．已知

28、a

29、＝

30、b

31、＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是________，a－b與a的夾角是________.解：如圖所示，作＝a，＝b，則∠AOB＝60°，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.因?yàn)?/p>

32、a

33、＝

34、b

35、＝2，所以