高中數(shù)學(xué)最值問題

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1、最值問題一、點擊高考　　最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它分布在各塊知識點，各個知識水平層面。以最值為載體，可以考查中學(xué)數(shù)學(xué)的所有知識點，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等諸多數(shù)學(xué)思想和方法，還可以考查學(xué)生的思維能力、實踐和創(chuàng)新能力。因此，它在高考中占有比較重要的地位?！　』仡櫧鼛啄旮呖迹瑥念}型分布來看，大多數(shù)一道填空或選擇題，一道解答題；從分值來看，約占總分的10%左右。特別是2003年北京卷，選擇、填空題各一道，解答題有兩道，總分值有36分之多；2003年上海卷，填空題各一道，解答題有兩道，總分值有36分之多

2、；2003年上海卷，填空題一道，解答題也是兩道，總分值有近30分，兩份試卷中均有一道實際應(yīng)用問題。　　由此看來，最值問題雖然是老問題，但一直十分活躍，尤其導(dǎo)數(shù)的引入，更是為最值問題的研究注入了新的活力。　　可以預(yù)見：2005年的高考命題中，有關(guān)最值問題，題型、題量、分值將保持穩(wěn)定，題目的背景會更貼近學(xué)生的實際生活，更關(guān)注社會熱點問題，難度不會太難。二、考點回顧:分析已有考法，最值問題的呈現(xiàn)方式一般有以下幾種：1、函數(shù)的最值；2、學(xué)科內(nèi)的其它最值，如三角形的面積最值問題、幾何體的體積最值問題、數(shù)列的最大項等等；3、字母

3、的取值范圍；4、不等式恒成立問題，常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，例如：　　f(x)≥0對x∈R恒成立f(x)的最小值≥0成立，　　f(x)≤0對x∈R恒成立f(x)的最大值≤0成立；5、實際應(yīng)用問題：　　實際應(yīng)用問題中，最優(yōu)化問題占的比例較大，通過建?？苫癁樽钪祮栴}。這類題已成為這幾年高考的熱點。可以肯定，這個熱度會繼續(xù)保持。16三、知識概要1、求函數(shù)最值的方法：“數(shù)”和“形”，數(shù)形結(jié)合：　　　　　　　　　　　配方法　　　　　　　直接法　均值不等式法　　　　　　　　　　　單調(diào)性　　代數(shù)方法　　　　　導(dǎo)數(shù)法　　　　　　　　　

4、　　判別式法　　　　　　　間接法　　　　　　　　　　　有界性　　　　　　　函數(shù)的圖像　　　　　　　平面幾何知識　　幾何方法　　　　　　線性規(guī)劃　　　　　　　　　　　　解析幾何　斜率　　　　　　　　　　　　兩點間距離2、求幾類重要函數(shù)的最值方法；（1）二次函數(shù)：配方法和函數(shù)圖像相結(jié)合；（2）:均值不等式法和單調(diào)性加以選擇；（3）多元函數(shù)：數(shù)形結(jié)合成或轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。3、實際應(yīng)用問題中的最值問題一般有下列三種模型：　　　　　能直接判斷　　　　　　　　　　　線性規(guī)劃　　　　　建立目標(biāo)函數(shù)　　　　　　　　　　　　　曲函數(shù)的最

5、值四、典型例題分析函數(shù)的最值例1(2002·全國卷·理·21)設(shè)a為實數(shù)，，（1）討論的奇偶性；16（2）求的最小值。【考查目的】本題主要考查函數(shù)的概念，函數(shù)的概念，函數(shù)的奇偶性和分段函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查分類討論的思路和邏輯思維能力?！纠}詳解】(1)解法一：常規(guī)思路：利用定義。＋，若都不成立，故不是奇函數(shù)；若為偶函數(shù)，則，即＋此等式對恒成立，只能是.故時，為偶數(shù)；時，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。解法二：從特殊考慮：又，故不可能是奇函數(shù)。若，則，為偶函數(shù)；若，則，知，故在時，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。（2）當(dāng)時，

6、，由二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)知：若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為；若，函數(shù)在上的最小值為，且。16當(dāng)時，函數(shù)。若，函數(shù)在上的最小值為，且；若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)函數(shù)在上的最小值為。綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)的最小值是。【特別提示】1．研究函數(shù)奇偶性的關(guān)鍵是考察函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱以及與是否具有相等或相反的關(guān)系；或從特殊情形去估計，再加以驗證。2．二次函數(shù)的最值解，一般借助于二次函數(shù)的圖像，考察圖像的對稱軸與所給定義域區(qū)間的相對位置關(guān)系不確定，則需分類討論。

7、3．本題根據(jù)絕對值的定義去絕對值后，變形為分段函數(shù)，分段函數(shù)的最值，有些同學(xué)概念不清，把每段函數(shù)的最小值都認為是整個函數(shù)的最小值，從而出現(xiàn)了一個函數(shù)有幾個最小值的錯誤結(jié)論。例2、已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）若對任意恒成立，試求實數(shù)的取值范圍?！究疾炷康摹勘绢}考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉(zhuǎn)化化歸思想。【例題詳解】（1）當(dāng)時，。　　，　　。16　　在區(qū)間上為增函數(shù)?！　≡趨^(qū)間上的最小值為。（2）在區(qū)間上恒成立；　　在區(qū)間上恒成立；　

8、　在區(qū)間上恒成立；　　函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3　　即　　【特別提示】1．第（1）題中，這類函數(shù)，若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，即用均值不等式來求最值時，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。2．不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。例3、設(shè)P為圓+=1上的動點，則點P到直線的距離的最小值為＿＿＿＿?！究疾槟康摹勘绢}