定點、定值、最值問題

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1、定點、定值、最值問題1．已知拋物線C的方程為y=x2-2m2x-(2m2+1)(m∈R)，則拋物線C恒過定點________.【解析】由y=x2-2m2x-(2m2+1)(m∈R)，化為2m2(x+1)=x2-y-1，則x+1=0x=-1x2-y-1=0y=0∴拋物線C恒過M(-1,0).一、定點問題(-1,0)例2.[2007屆·湖南聯(lián)考題]已知橢圓上一點M(1,)，P、Q是橢圓上異于M的兩個動點，并且P、M、Q到橢圓左焦點F1的距離成等差數(shù)列，求證：線段PQ的垂直平分線過定點.【解析】設(shè)P(

2、x1,y1)，Q(x2,y2)，∵

3、PF1

4、=2+x1,

5、MF1

6、=2+,

7、QF1

8、=2+x2依題意，2

9、MF1

10、=

11、PF1

12、+

13、QF1

14、，∴x1+x2=2.設(shè)PQ中點為C(x0,y0)，線段PQ的垂直平分線為l，則∵P、Q在橢圓上，∵PQ⊥l，∴kl=2y0,l的方程為y-y0=2y0(x-1)，即y=y0(2x-1).∴直線l過定點(,0).【小結(jié)】直線過定點問題，常用直線系知識來解決.4二、定值問題【解析】（1）由直線OP的傾斜角為60°，得P(1,).設(shè)PA的方程為y-=k(x-1)，①則

15、PB的方程為y-=-k(x-1).②將①代入橢圓方程有例2.曲線的內(nèi)接△PAB中，PA、PB的傾斜角互補，且直線OP的傾斜角為證明直線AB的斜率為定值.(3+)x2-2x+2kx+-2k-3=0,(定值)B三、最值問題BBOxy.A(0,3).B(4,5).A’(0,-3).PC4．斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，則

16、AB

17、的最大值為()A．2B．C．D．【解析】設(shè)l直線方程為y=x+t，則弦長

18、AB

19、=xylOAB解1:把直線l平移至首次與橢圓相切,切點就是所求的點P,即:

20、設(shè)l1的方程為x-y+m=0,整理得9y2-2my+m2-8=0,△=4m2-4×9×(m2-8)=0,解得m=±3.由圖形可知m=3,l1首先與橢圓相切,即9y2-6y+1=0.xylOx-y+m=0X2+8y2=85.如圖,在橢圓x2+8y2=8上求一點P,使P到直線l:x-y+4=0的距離最小.5.如圖,在橢圓x2+8y2=8上求一點P,使P到直線l:x-y+4=0的距離最小.XYlOPABDCOxyB9．設(shè)橢圓，和x軸正半軸交點為A，和y軸正半軸的交點為B，P為第一象限內(nèi)橢圓上的點，那么四邊形OAP

21、B面積最大值為()A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)bD．2ab【解析】設(shè)橢圓在第一象限內(nèi)的任一點坐標(biāo)為P(acosα,bsinα)，α∈(0,)，則S四邊形OAPB=S△OAP+S△OBP=·OA·bsinα+·OB·acosα=·ab·(sinα+cosα)=·a·bsin(α+)，當(dāng)且僅當(dāng)α=，四邊形OAPBmax=ab，故應(yīng)選B.Q1FF1AXYOQQ’AyxOAyXO例12.[2006年·全國Ⅱ卷]已知拋物線x2=4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且=λ（λ＞0）．過A、B兩點分別作拋物線

22、的切線，設(shè)其交點為M．（1）證明為定值；（2）設(shè)△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值．【解析】(1)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由=λ，即得(-x1，1-y1)=λ(x2，y2-1)，-x1=λx2①1-y1=λ(y2-1)②將①式兩邊平方并把y1=x12，y2=x22代入得y1=y2，③解②、③式得y1=λ，y2=，且有x1x2=-λx22=-4λy2=-4，拋物線方程為y=x2，求導(dǎo)得y′=x．所以過拋物線上A、B兩

23、點的切線方程分別是y=x1(x-x1)+y1，y=x2(x-x2)+y2，即y=x1x-x12，y=x2x-x22.解出兩條切線的交點M的坐標(biāo)為()=(，-1)所以=(，-2)·(x2-x1，y2-y1)=(x22-x12)-2(x22-x12)=0.所以為定值，其值為0．(2)由(1)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S=

24、AB

25、

26、FM

27、因為

28、AF

29、、

30、BF

31、分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y=-1的距離，所以

32、AB

33、=

34、AF

35、+

36、BF

37、=y1+y2+2=λ++2=（+）2．于是S=

38、AB

39、

40、FM

41、

42、=(+)3，由+≥2知S≥4，且當(dāng)λ=1時，S取得最小值4．【小結(jié)】本題融向量運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運用基本不等式求最值、拋物線的幾何性質(zhì)于一體.考查運用所學(xué)知識與方法綜合分析解決問題的能力.