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《實(shí)變函數(shù)習(xí)題解答(2)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、96第二章習(xí)題解答1、證明的充要條件是對(duì)任意含有的鄰域U(，)（不一定以為中心）中，恒有異于的點(diǎn)屬于（事實(shí)上，這樣的還有無(wú)窮多個(gè)）。而的充要條件則是有含的鄰域U(，)（同樣，不一定以為中心）存在，使U(，)。證明：（1）充分性，用反證法，若，則的某一鄰域U(，)中至多有有限個(gè)異于的點(diǎn)，，…，屬于，令d(，)=，在U(，)中不含異于的點(diǎn)屬于，這與條件矛盾。97必要性，設(shè)U(，)是任意一個(gè)含有的鄰域，則d(，)<，令=-d(，)>0，則U(，)U(，)。因?yàn)?，所以，在U(，)中含于無(wú)窮多個(gè)屬于的點(diǎn)，其中必有異于的點(diǎn)，即U(，)中有異
2、于的點(diǎn)。（2）必要性是顯然的，下面證明充分性，設(shè)含有的鄰域U(，)，則d(，)<，令=-d(，)，則U(，)U(，)，從而U(，)，故。2、設(shè)=是全體實(shí)數(shù)，是[0，1]上的全部有理點(diǎn)，求，，。解：=[0，1]，=，=[0，1]。3、設(shè)=是普通的平面，={(，)
3、+<1}，求，，。解：={(，)
4、+≤1}，={(，)
5、+<1}，={(，)
6、+≤1}。984、設(shè)=是普通的平面，是函數(shù)=的圖形上的點(diǎn)作成的集合，求，。解：={(，)
7、≠0，=sin}{(0，)
8、-1≤≤1}=5、在中看第2題的，，各是由哪些點(diǎn)構(gòu)成的。解：={(，0)
9、0
10、≤≤1}==6、證明點(diǎn)集為閉集的充要條件是＝。證明：充分性，若＝，則＝，故，即為閉集。必要性，若為閉集，則，所以＝，即＝。997、證明開集減閉集后的差集仍是開集，閉集減開集后的差集仍是閉集。證明：設(shè)G是一開集，F(xiàn)是一閉集，則CG是閉集，CF是開集，所以G－F＝GCF是開集，F(xiàn)－G＝FCG是閉集。8、設(shè)()是（－∞，＋∞）上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任何常數(shù)，＝{
11、()>}是開集，而＝{
12、()≥}是閉集。證明：若＝{
13、()>}＝，則是開集，若≠，，有()>，因?yàn)?)在連續(xù)，所以>0，當(dāng)U(，)時(shí)，有()>，即U(，)，所以是的內(nèi)點(diǎn)，故
14、是開集。同理可證{
15、()<}是開集，而＝{
16、()≥}是{
17、()<}的余集，所以是閉集。9、證明每個(gè)閉集必是可數(shù)個(gè)開集的交集，每個(gè)開集可以表示成可數(shù)個(gè)閉集的和集。100證明：設(shè)為閉集，令＝{
18、d(，)<}，則是開集。事實(shí)上，，有d(，)<，即d(，)<，所以，使d(，)＝<，令ε＝－，U(，ε)，有d(，)<ε，d(，)≤d(，)＋d(，)<ε＋＝，于是d(，)＝d(，)≤d(，)<，所以，U(，ε)，故是開集。101以下證明＝。顯然(＝1，2，…)，所以。，有(＝1，2，…)、d(，)<，令→∞得，d(，)＝0，所以或。因?yàn)槭情]
19、集。所以，故。于是，所以＝。設(shè)為開集，則C為閉集，所以存在開集，使C＝，而＝C(C)＝C()＝C，C為閉集，即可表示為可數(shù)個(gè)閉集的和集。10、證明用十進(jìn)位小數(shù)表示[0，1]中的數(shù)時(shí)，用不著數(shù)字7的一切數(shù)成一完備集。102證明：在[0，1]中，第一位小數(shù)用到數(shù)字7的小數(shù)是(0.7，0.8)，第二位小數(shù)用到7的小數(shù)是(0.07，0.08)，(0.17，0.18)，…，(0.97，0.98)，…。第位小數(shù)用到數(shù)字7的小數(shù)是(0.…7，0.…8)（其中，，是0，1，2，…，9取完各種可能的－1個(gè)數(shù)）記這些開區(qū)間的全體為，設(shè)[0，1]上不
20、用數(shù)字7表示的小數(shù)的全體為，則＝C[()∪(－∞，0)∪(1，＋∞)]而，(－∞，0)，(1，＋∞)是可數(shù)個(gè)互不相交且無(wú)公共端點(diǎn)的開區(qū)間，所以是完備集。11、證明()為[，]上連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是對(duì)任意實(shí)數(shù)C，集＝{
21、()≥C}，與＝{
22、()≤C}都是閉集。證明：若()為[，]上的連續(xù)函數(shù)，用與第8題相同的方法可證明和都是閉集。103設(shè)、為閉集，若()在點(diǎn)不連續(xù)，則，使→，而()≠()，因而，>0，使
23、()－()
24、≥(＝1，2，…)即()≥()＋或()≤()－，若()≥()＋，令C＝()＋，則＝{
25、()≥C}，因?yàn)椤?，所以?/p>
26、而()<()＋＝C，所以，與為閉集矛盾；若()≤()－，則可導(dǎo)出與為閉集矛盾。12、證明§2定理5。104定理5：設(shè)≠，≠，則至少有一界點(diǎn)（即≠）。證明：因?yàn)椤?，≠，所以存在，，設(shè)＝(，，…，)，＝(，，…，)，令＝(＋(1－)，＋(1－)，…，＋(1－))(0≤≤1)，＝sup{
27、}。以下證明。（1）若，則≠1（否則＝）當(dāng)[0，1]，滿足<<1時(shí),。于是，對(duì)任意，存在，滿足<<1，→，使，顯然有→，所以。（2）若，則≠0，存在，0<<，→，，同樣有。
