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《實變函數(shù)習題解答(2)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、96第二章習題解答1、證明的充要條件是對任意含有的鄰域U(，)（不一定以為中心）中，恒有異于的點屬于（事實上，這樣的還有無窮多個）。而的充要條件則是有含的鄰域U(，)（同樣，不一定以為中心）存在，使U(，)。證明：（1）充分性，用反證法，若，則的某一鄰域U(，)中至多有有限個異于的點，，…，屬于，令d(，)=，在U(，)中不含異于的點屬于，這與條件矛盾。97必要性，設U(，)是任意一個含有的鄰域，則d(，)<，令=-d(，)>0，則U(，)U(，)。因為，所以，在U(，)中含于無窮多個屬于的點，其中必有異于的點，即U(，)中有異于的點。（2）必要性是顯然的，下面證明充分性，設含有
2、的鄰域U(，)，則d(，)<，令=-d(，)，則U(，)U(，)，從而U(，)，故。2、設=是全體實數(shù)，是[0，1]上的全部有理點，求，，。解：=[0，1]，=，=[0，1]。3、設=是普通的平面，={(，)
3、+<1}，求，，。解：={(，)
4、+≤1}，={(，)
5、+<1}，={(，)
6、+≤1}。984、設=是普通的平面，是函數(shù)=的圖形上的點作成的集合，求，。解：={(，)
7、≠0，=sin}{(0，)
8、-1≤≤1}=5、在中看第2題的，，各是由哪些點構成的。解：={(，0)
9、0≤≤1}==6、證明點集為閉集的充要條件是＝。證明：充分性，若＝，則＝，故，即為閉集。必要性，若為閉集，
10、則，所以＝，即＝。997、證明開集減閉集后的差集仍是開集，閉集減開集后的差集仍是閉集。證明：設G是一開集，F(xiàn)是一閉集，則CG是閉集，CF是開集，所以G－F＝GCF是開集，F(xiàn)－G＝FCG是閉集。8、設()是（－∞，＋∞）上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任何常數(shù)，＝{
11、()>}是開集，而＝{
12、()≥}是閉集。證明：若＝{
13、()>}＝，則是開集，若≠，，有()>，因為()在連續(xù)，所以>0，當U(，)時，有()>，即U(，)，所以是的內點，故是開集。同理可證{
14、()<}是開集，而＝{
15、()≥}是{
16、()<}的余集，所以是閉集。9、證明每個閉集必是可數(shù)個開集的交集，每個開集可以表示成可數(shù)個閉集的和
17、集。100證明：設為閉集，令＝{
18、d(，)<}，則是開集。事實上，，有d(，)<，即d(，)<，所以，使d(，)＝<，令ε＝－，U(，ε)，有d(，)<ε，d(，)≤d(，)＋d(，)<ε＋＝，于是d(，)＝d(，)≤d(，)<，所以，U(，ε)，故是開集。101以下證明＝。顯然(＝1，2，…)，所以。，有(＝1，2，…)、d(，)<，令→∞得，d(，)＝0，所以或。因為是閉集。所以，故。于是，所以＝。設為開集，則C為閉集，所以存在開集，使C＝，而＝C(C)＝C()＝C，C為閉集，即可表示為可數(shù)個閉集的和集。10、證明用十進位小數(shù)表示[0，1]中的數(shù)時，用不著數(shù)字7的一切數(shù)成一完
19、備集。102證明：在[0，1]中，第一位小數(shù)用到數(shù)字7的小數(shù)是(0.7，0.8)，第二位小數(shù)用到7的小數(shù)是(0.07，0.08)，(0.17，0.18)，…，(0.97，0.98)，…。第位小數(shù)用到數(shù)字7的小數(shù)是(0.…7，0.…8)（其中，，是0，1，2，…，9取完各種可能的－1個數(shù)）記這些開區(qū)間的全體為，設[0，1]上不用數(shù)字7表示的小數(shù)的全體為，則＝C[()∪(－∞，0)∪(1，＋∞)]而，(－∞，0)，(1，＋∞)是可數(shù)個互不相交且無公共端點的開區(qū)間，所以是完備集。11、證明()為[，]上連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是對任意實數(shù)C，集＝{
20、()≥C}，與＝{
21、()≤C}都是閉集
22、。證明：若()為[，]上的連續(xù)函數(shù)，用與第8題相同的方法可證明和都是閉集。103設、為閉集，若()在點不連續(xù)，則，使→，而()≠()，因而，>0，使
23、()－()
24、≥(＝1，2，…)即()≥()＋或()≤()－，若()≥()＋，令C＝()＋，則＝{
25、()≥C}，因為→，所以，而()<()＋＝C，所以，與為閉集矛盾；若()≤()－，則可導出與為閉集矛盾。12、證明§2定理5。104定理5：設≠，≠，則至少有一界點（即≠）。證明：因為≠，≠，所以存在，，設＝(，，…，)，＝(，，…，)，令＝(＋(1－)，＋(1－)，…，＋(1－))(0≤≤1)，＝sup{
26、}。以下證明。（1）若，則≠
27、1（否則＝）當[0，1]，滿足<<1時,。于是，對任意，存在，滿足<<1，→，使，顯然有→，所以。（2）若，則≠0，存在，0<<，→，，同樣有。
