解析幾何最值問(wèn)題的探究

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1、解析幾何最值問(wèn)題呂叔湘中學(xué)郭飛一.教學(xué)目標(biāo)解析幾何中的最值問(wèn)題以直線或圓錐曲線作為背景，以函數(shù)和不等式等知識(shí)作為工具，具有較強(qiáng)的綜合性，這類問(wèn)題的解決沒(méi)有固定的模式，其解法一般靈活多樣，且對(duì)于解題者有著相當(dāng)高的能力要求，正基于此，這類問(wèn)題近年來(lái)成為了數(shù)學(xué)高考中的難關(guān)。二.教學(xué)難重點(diǎn)探求解析幾何最值的常見(jiàn)方法：1.?函數(shù)法：設(shè)法將一個(gè)較復(fù)雜的最值問(wèn)題，通過(guò)引入適當(dāng)?shù)淖兞磕軞w為某初等函數(shù)的最值問(wèn)題，然后通過(guò)對(duì)該函數(shù)單調(diào)性和最值的考察使問(wèn)題得以解決。?2.不等式法：常用的不等式法主要有均值不等式等。3.數(shù)形結(jié)合：在平面幾何中有許多關(guān)于不變量的最

2、值結(jié)果，求解解析幾何中最值問(wèn)題時(shí)，如果能充分利用曲線的幾何意義，直接使用這些結(jié)果，則往往會(huì)使得復(fù)雜的問(wèn)題筒單法。三.教學(xué)過(guò)程XyBAOFE【例題】已知橢圓，分別為橢圓上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)。過(guò)原點(diǎn)作一直線與線段AB交于點(diǎn)G，并和橢圓交于E,F兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值?！緢D形處理】問(wèn)1：四邊形AEBF是不規(guī)則圖形，如何求四邊形面積？思路1：，注：是E點(diǎn)到直線AB的距離；是F點(diǎn)到直線AB的距離.思路2：【最值求法】問(wèn)2：遇到最值問(wèn)題，如何處理？歸納：①建立函數(shù)模型；②二元變量基本不等式；③數(shù)形結(jié)合3【變量選擇】問(wèn)3：本題選擇什么變量比較合適

3、？歸納：①點(diǎn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)（E點(diǎn)動(dòng)）；②線動(dòng)設(shè)斜率（EF直線動(dòng)）【具體操作】思路一：設(shè)點(diǎn)法一：基本不等式設(shè)，且。，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)。法二：三角代換設(shè)法三：數(shù)形結(jié)合令與聯(lián)立可得：由，，的最大值為.思路二：設(shè)斜率設(shè)EF：與聯(lián)立可得：，點(diǎn)A到EF的距離為：；點(diǎn)B到EF的距離為：。則：3【變式與推廣】1.本質(zhì)揭示：=2.變式①圓，A,B分別是軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線與AB相交于點(diǎn)G，并和圓交于點(diǎn)E,F兩點(diǎn)，的最大值為；②已知橢圓，分別為橢圓上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)。過(guò)原點(diǎn)作一直線與線段AB交于點(diǎn)G，并和橢圓交于E,F兩點(diǎn)：ⅰ.則四邊形AEBF面積的最大

4、值；ⅱ.當(dāng)面積取值最值時(shí)，直線AB與EF的斜率互為相反數(shù)；ⅲ.當(dāng)面積取值最值時(shí)，直線EF過(guò)線段AB的中點(diǎn)。③若E,F變成橢圓上且位于AB兩側(cè)任意兩點(diǎn)，則E,F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，四邊形面積最大?！緮?shù)學(xué)思想方法】1.割補(bǔ)法；2.設(shè)元、消元、換元；3.轉(zhuǎn)化與化歸；4.函數(shù)思想；5.對(duì)稱思想.3