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1、第一類換元積分法的“湊微分”思想探析及運(yùn)用第一類換元積分法的湊微分思想探析及運(yùn)用 在高等數(shù)學(xué)中，微積分學(xué)是重要的知識(shí)內(nèi)容.第一換元積分法（也叫湊微分法）是一種重要的基本積分方法，它的關(guān)鍵步驟是.L.湊微分.熟練掌握和運(yùn)用湊微分的思想方法，對(duì)學(xué)習(xí)后續(xù)的第二換元積分法和分部積分法等積分方法有很重要的作用.由于積分是微分的逆運(yùn)算，沒(méi)有固定的公式和模式可以直接套用，需要對(duì)積分式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏蛽Q元才能夠利用積分公式計(jì)算出來(lái)，所以，初學(xué)者在學(xué)習(xí)的過(guò)程中往往對(duì)要湊微分的函數(shù)作出多次嘗試，浪費(fèi)了時(shí)間.本文就第一換元積分法中的湊微分思想的理論依據(jù)進(jìn)行解析，總結(jié)出湊微分的具體計(jì)算方法，幫助
2、初學(xué)者更好地學(xué)習(xí)和掌握湊微分的知識(shí)并在積分運(yùn)算中運(yùn)用. 第一換元積分法是當(dāng)被積表達(dá)式∫g(x)dx不容易求出積分時(shí)，可以通過(guò)恒等變形和變量代換，將被積表達(dá)式轉(zhuǎn)化成為基本積分公式表中的某一被積表達(dá)式，然后根據(jù)基本積分表中的某些公式，對(duì)新變量進(jìn)行積分，最后還原求出結(jié)果.其具體的計(jì)算過(guò)程可表示為：∫g(x)d(x)=∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f［φ(x)］dφ(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F［φ(x)]+C.即恒等變形→湊微分&rar
3、r;換元→積分→回代的計(jì)算過(guò)程.其中最為關(guān)鍵的步驟是將積分表達(dá)式中的φ′(x)湊成dφ(x)的形式，即俗稱的湊微分. 1.湊微分思想的理論依據(jù)和知識(shí)點(diǎn)解析 湊微分思想的理論依據(jù)：其一是原函數(shù)的概念，其二是復(fù)合函數(shù)一階微分形式的不變性的性質(zhì).原函數(shù)的概念是不定積分的一個(gè)最基本的概念，即：若F′(x)=f(x)，則F(x)稱為f(x)的一個(gè)原函數(shù).由微分的定義和計(jì)算公式可得：任意函數(shù)F(x)的微分dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx.相對(duì)于復(fù)合函數(shù)而言，設(shè)y=f(u)，u=φ(x),
4、則復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)]的微分為dy=f′(u)φ′(x)dx，由于du=φ′(x)dx，所以上式可以寫成dy=f′(u)du，這表明，不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)y=f(u)的微分形式保持不變，這就是一階微分形式的不變性，即dy=f′(u)φ′(x)dx=f′(u)du=f′［φ(x)］d［φ(x)］，這個(gè)式子從正向看是利用微分計(jì)算公式進(jìn)行運(yùn)算，而從逆向看是一個(gè)湊微分的過(guò)程，實(shí)際上也是一個(gè)積分的過(guò)程，即f′［
5、φ(x)］d［φ(x)］=f′(u)du=f′(u)φ′(x)dx=dy.所以要掌握湊微分的運(yùn)算技巧，既要會(huì)用微分公式計(jì)算函數(shù)的微分，又要善于利用逆向思維靈活變形.例如：3dx=d(3x+2),2xdx=dx2，cosxdx=dsinx，exdx=dex，3dx=d(3x+2)等. 2.湊微分時(shí)要分清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)，由函數(shù)結(jié)構(gòu)確定基本積分公式和湊微分因式 湊微分沒(méi)有一個(gè)固定的模式，需要對(duì)函數(shù)正向逆向計(jì)算比較之后才可以確定湊微分的因式.而將什么函數(shù)湊進(jìn)微分，如何湊，有沒(méi)有一般的規(guī)律可遵循呢？一般地，大部分
6、被積函數(shù)中都會(huì)出現(xiàn)復(fù)合函數(shù)的形式，而運(yùn)用積分公式運(yùn)算時(shí)需要積分變量與函數(shù)的中間變量保持一致，因此，復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)往往決定了求解時(shí)可以利用基本積分表中的積分公式，而除去外層函數(shù)后剩下的部分即為湊微分的因式.湊微分的計(jì)算步驟可歸納為：第一，先觀察被積函數(shù)的函數(shù)結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層分析復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)，通過(guò)外層函數(shù)聯(lián)系基本積分公式表就可以確定需要運(yùn)用的基本積分公式；第二，把握積分變量和函數(shù)中間變量相一致的原則，將出發(fā)點(diǎn)放在被積函數(shù)中的復(fù)合函數(shù)上，除去外層函數(shù)剩下的函數(shù)的中間變量即為需要湊微分的因式，可嘗試將函數(shù)中間變量湊進(jìn)微分里，然后展開(kāi)計(jì)算函數(shù)的微分，與原積分式子作一比較，看需要
7、什么條件進(jìn).L.行補(bǔ)充，使之成為恒等變形，然后逆向運(yùn)算進(jìn)行湊微分后，即可利用基本積分公式進(jìn)行求解. 3.運(yùn)用第一換元積分法計(jì)算積分的方法和步驟 我們結(jié)合湊微分運(yùn)用第一換元積分法計(jì)算積分時(shí)可分為三個(gè)步驟進(jìn)行： 第一步，確定積分公式：分析被積的復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外層函數(shù)聯(lián)系基本積分公式表，可以初步判斷將要運(yùn)用到的某一個(gè)基本積分公式. 第二步，湊微分：除去外層函數(shù)，將復(fù)合函數(shù)的中間變量函數(shù)φ(x)湊進(jìn)微分里變成dφ(x)，對(duì)比觀察原被積表達(dá)式，補(bǔ)充一定的條件使之成為一個(gè)恒等變形，將積分表達(dá)
