《平面方程教學》ppt課件

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1、第四節(jié)平面方程一、平面的方程二、點到平面的距離三、兩平面的夾角一、平面的方程法向量：如果一個非零向量垂直于一平面，這向量稱為該平面的法向量?！锘窘Y論：一個平面有無數(shù)多個法向量；平面上任意向量都與該平面的法向量垂直。在空間解析幾何中，確定平面的基本條件是：平面過一定點且與定向量垂直。問題：1平面的點法式方程OxyzπM0n設M（x，y，z）是平面π上任一點，M那么向量所以它們的數(shù)量積為零，即由于n={A，B，C}，并且故有設平面π過點M0（x0，y0，z0），向量n={A，B，C}(A,B,C不全為零）是它的一個法向量，如下圖所示，求此平面的方程

2、。例1求過點（2,-3,0），且有法向量n={1,-2,3}的平面方程。解：根據(jù)平面的點法式方程，可得所求的平面方程為即例2已知一平面過三點P0（5,-4,3)，P1(-2,1,8)和P2（0,1,2)，求這個平面的方程。解：關鍵在于求出平面的一個法向量。為此作向此為平面的點法式方程。而所以則所求平面的方程為化簡為法向量n。量因而可作為所求平面的一個例3求通過三點P1(a,0,0),P2(0,b,0)和P3(0,0,c)的平面方程（其中a,b,c均不為零）。OxyzP1P3P2解：所求平面的法向量為故所求平面的方程為即平面的截距式方程a,b,c分

3、別稱為x軸、y軸和z軸上的截距。2平面的一般式方程可由平面的點法式方程推得。{A，B，C}為此平面的一個法向量，且不全為零?！锾厥馕恢闷矫娴姆匠蹋海?）若D=0，方程為平面過原點。（2）若C=0，方程為平面的法向量為n={A,B,0}，垂直于Oz軸，因此平面與Oz軸平行。（3）若B=C=0，方程為平面的法向量為n={A,0,0}，與x軸平行，因此平面與坐標面Oyz平行，在x軸上的截距為類似地，可以推知其他情況?！锾貏e地，方程分別表示Oyz，Ozx，Oxy坐標面。例4求通過Oz軸且過點M（2，4，-3）的平面方程。解：由已知，可設平面方程為因為它過

4、M點，所以有代入即得所求平面方程為二、點到平面的距離問題：和平面外一點P0(x0,y0,z0)，求點P0到該平面的距離d.已知平面如下圖，P0在該平面內(nèi)任取一點P1（x1,y1,z1)，P1則d就等于向量在平面的法向量n={A,B,C}上投影的絕對值，nN即θ而因此即這就是空間一點P0到平面的距離公式。例5求點P（-1,-2,1)到平面的距離。解：三、兩平面的夾角定義：兩平面的夾角為這兩平面法向量的夾角θ，如右圖所示。π1π2θn1n2θ設兩平面π1，π2的方程分別為：于是兩平面的法向量分別為：故可得兩個結論：例5設平面過點M1（1,1,1)，M

5、2（0,1,-1)，且垂直于平面求此平面方程。解：用待定系數(shù)法解決。設所求平面方程為因為M2在平面上，所以有又因為所求平面垂直于平面所以又有聯(lián)立方程組解得代入所設方程，并消去C（C≠0），得所求平面方程為想一想，還有沒有別的解決方法？