電磁場與電磁波第5講旋度和旋度定理零恒等式亥姆霍茲定

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1、FieldandWaveElectromagnetic電磁場與電磁波回顧：1.標(biāo)量場的梯度2.矢量場的散度3.散度定理2主要內(nèi)容1.矢量場的旋度2.斯托克斯定理3.兩個零等式4.亥姆霍茲定理31.矢量場的旋度旋渦旋渦源環(huán)量旋度靜電場：有始有終矢量場散度場描述散度源強(qiáng)度在空間分布靜磁場：無始無終閉合線矢量場旋度場描述旋渦源強(qiáng)度在空間分布4（1）基本概念：矢量A沿閉合回路l的環(huán)量環(huán)量是一個標(biāo)量，其大小不僅與閉合曲線的大小有關(guān)，還取決于該曲線相對于矢量A的取向。若環(huán)量不等于零，說明閉合曲線內(nèi)存在有旋源，這樣的場稱為旋渦場

2、或有旋場，若環(huán)量等于零，則為無旋場?？梢?，環(huán)量可以用來描述矢量場的旋渦特性。5繞同一點(diǎn)有無窮多的回路，怎么辦？6（2）三維空間矢量場方向旋度的概念研究在同一點(diǎn)繞各個不同方向的旋渦強(qiáng)度（無窮多的繞行方向），沿每一個回路都有一個旋度，稱為方向旋度，其方向為回路包圍面積的法線方向方向旋度：當(dāng)面積趨于零時，垂直于方向上的單位面積上的環(huán)量注意：在每一點(diǎn)P處都有無窮多的方向旋度回路（回路的繞行方向）與回路包圍面（面法線方向）這兩個方向之間的關(guān)系：右手規(guī)則7(1)在同一點(diǎn)繞不同方向的方向旋度不相同，(2)有這樣一個特殊方向，該方

3、向的方向旋度最大正最大次之零負(fù)最大零空間矢場在任一點(diǎn)的旋度矢量的方向是該點(diǎn)取最大方向旋度的方向，它的模是該點(diǎn)取最大方向旋度的大小。最大方向旋度（大小和方向）定義為矢量的旋度？旋度的方向8我們看到：掌握了某一點(diǎn)的旋度，可以知道繞什么方向的方向旋度最強(qiáng)，并算出方向旋度的最大值；如果矢量場F每一點(diǎn)的旋度都有定義，則形成一個矢量場的分布稱為矢量F的旋度場。總而言之，旋度場是源于矢場的另一矢場，它全面地刻畫了矢場的渦旋特征（空間變化特征）。（3）方向旋度9(4)物理意義旋度場：空間每點(diǎn)處渦旋源的強(qiáng)度，描述渦旋源的強(qiáng)度在空間的

4、分布如果矢量場F每一點(diǎn)的旋度都有定義，則形成一個矢量的分布（矢量場)稱為矢量F的旋度場單位面積上的源，渦旋源的強(qiáng)度源10(5)在正交曲面坐標(biāo)系下的表達(dá)式11球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系1213Example2-21(P57-58)14一個旋度為零的矢量場稱為無旋場一個散度為零的矢量場稱為無散場152.斯托克斯定理一矢量場的旋度在一開放表面上的面積分，等于該矢量沿包圍該表面的圍線的封閉線積分斯托克斯定理將一矢量的旋度的面積分變換為該矢量的線積分，或者作相反的變換。凡是可應(yīng)用斯托克斯定理的場總是意味著有一個帶有環(huán)形邊界的開放表面存

5、在。最簡單的開放表面是二維的平面或者帶有圓周邊界的圓盤，注意：dl和ds的方向關(guān)系服從右手定則。降維：二維——一維16Example2-22(P60)17183.兩個零等式任何標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零。（V及其一階導(dǎo)數(shù)處處存在）3.1恒等式I恒等式I的逆定理也成立：如果一個矢量的旋度為零，則該矢量可以表示為一個標(biāo)量場的梯度。例如：那么一個無旋（保守）矢量場總可以表示成一個標(biāo)量場的梯度19直角坐標(biāo)系下證明：20任何矢量場的旋度的梯度恒為零3.2恒等式II恒等式II的逆定理：如果一矢量場的散度為零，它就可表示為另一矢量

6、場的旋度。無散場又成為管形場。管形場是沒有流量源和匯的。管形場穿過任何封閉面的凈流出通量為零，通量線自身呈閉合形狀。例如：那么21直角坐標(biāo)系下證明：224.亥姆霍茲定理在前面幾節(jié)我們得出：散度為零的場是無散場（管形場），而旋度為零的場是無旋場，我們可以根據(jù)場是無散的或無旋的，將矢量場進(jìn)行分類，一矢量場F是：1).無散的（管形）和無旋的，如果例如:無源區(qū)的靜電場3).無旋的但有散（非管形）的，如果例如：在有源區(qū)域中的靜電場2).無散的（管形）但非無旋的，如果例如：載流導(dǎo)體中的穩(wěn)定磁場4).即有散又有旋的，如果例如：有

7、電荷又有時變磁場的煤質(zhì)中的電場23現(xiàn)在我們必需考慮如下問題：（1）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場的激勵源？（3）如何唯一的確定一個矢量場？最普遍的矢量場是同時具有非零的散度和非零的旋度的，而且可以看作是一無散場和一無旋場之和。24亥姆霍茲定理:假如一矢量場（矢量點(diǎn)函數(shù)）的散度和旋度處處都已給定，則這個矢量場（矢量點(diǎn)函數(shù)）就確定了，最多只差一個附加常矢量。對于無界區(qū)域，我們假定矢量場的散度和旋度在無窮遠(yuǎn)處均為零，如果矢量場被限制于由封閉面所包圍的一個區(qū)域內(nèi)，

8、那么只要它在整個區(qū)域的散度和旋度以及在封閉面上的法向分量都已給定，則該矢量場就確定了。這里，我們假定矢量函數(shù)為單值，而且具有有限值及連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。25矢量場的散度是流量源強(qiáng)度的度量，而矢量場的旋度是旋渦源強(qiáng)度的度量。當(dāng)流量源強(qiáng)度和旋渦源強(qiáng)度均給定時，可知該矢量場將被確定。由此，任何一個一般矢量場F可以分解為無旋部分Fi和無散部分Fs再由兩個零等式:26二階微分