2013電磁場(chǎng)與電磁波1(亥姆霍茲定理)new

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1、亥姆霍茲定理及矢量場(chǎng)的分類?散度和旋度的意義?亥姆霍茲定理?矢量場(chǎng)分類??算子的運(yùn)算規(guī)則?重要的恒等式?矢徑的“三度”計(jì)算?各種場(chǎng)的討論矢量場(chǎng)的旋度和散度的意義?矢量場(chǎng)的旋度是矢量函數(shù);矢量場(chǎng)的散度是標(biāo)量函數(shù)。?旋度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量與旋渦源的關(guān)系。?矢量場(chǎng)所在空間里的場(chǎng)量的旋度處處等于零,稱該場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)(或保守場(chǎng))。?散度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量與通量源的關(guān)系。?矢量場(chǎng)所在空間里的場(chǎng)量的散度處處等于零,稱該場(chǎng)為無(wú)散場(chǎng)(或管形場(chǎng))。?旋度表示是A的各個(gè)分量沿著與它們相垂直的方向上的變化規(guī)律。??A?A???A?A???A?A?zyxzyx??Aa?????a????a???

2、xyz??y?z???z?x???x?y??散度表示是A的場(chǎng)分量沿各自方向上的變化規(guī)律。?A?A?AxyzdivA???A????x?y?z?若一個(gè)矢量場(chǎng)確定,產(chǎn)生矢量場(chǎng)的漩渦源(旋度)和通量源(散度)確定。若矢量場(chǎng)的旋度和散度確定,該場(chǎng)是否唯一確定??。【Helmholtz定理】對(duì)于任意矢量場(chǎng)A,有?1??A??1??A?A??????V?'dv???????V?'dv??4?rr4?rr????證明略??梢缘玫綆c(diǎn)結(jié)論:?在無(wú)界空間,若矢量場(chǎng)有界且正則(場(chǎng)值至少按1/r衰減,且其源密度至少按1/r2衰減),則矢量場(chǎng)由它的散度和旋度唯一確定。?在有界空間,矢量場(chǎng)由它

3、的散度、旋度及其邊界條件唯一確定。?矢量場(chǎng)可以分解為無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)組合。A???F??u???A對(duì)應(yīng)旋渦源,??A對(duì)應(yīng)通量源,所以Helmholtz定理也告訴我們,矢量場(chǎng)是由其旋渦源和通量源產(chǎn)生的。?電磁場(chǎng)的散度和旋度為電磁場(chǎng)的基本方程,是我們研究的重點(diǎn)(麥克斯韋方程組)矢量場(chǎng)的分類?在無(wú)限大區(qū)域,矢量場(chǎng)由它的散度、旋度唯一確定。?1??A??1??A?A??????V?'dv???????V?'dv??4?rr4?rr?????矢量場(chǎng)的分類按照?qǐng)鲇袩o(wú)散度、旋度分類:?無(wú)旋有散場(chǎng)??F?0,??F???0?有旋無(wú)散場(chǎng)??F?0,??F?J?0?無(wú)旋無(wú)散場(chǎng)??F?0,?

4、?F?0?有旋有散場(chǎng)??F???0,??F?J?0?算子的運(yùn)算規(guī)則????在直角坐標(biāo)系下??a?a?axyz?x?y?z?u?u?u?梯度??ua?a?axyz?x?y?z?A?A?A?散度xyz??A????x?y?z?旋度axayaz?????A??x?y?zAAAxyz?可以看出,?算子具有矢量與微分算子的雙重特性,這是構(gòu)成?算子運(yùn)算規(guī)則的基礎(chǔ)。?為了便于計(jì)算,定義???A???(aA?aA?aA)(?a?a?a)xxyyzzxyz?x?y?z????A?A?Axyz?x?y?z?顯然A?????A?下面通過例題說(shuō)明?算子的運(yùn)算規(guī)則?!纠孔C明?(uv)????

5、uvvu?證明:應(yīng)用乘積函數(shù)的微分運(yùn)算規(guī)則?(uv)??(uv)??(uv)cc?運(yùn)算規(guī)則1:運(yùn)算中,先把有下標(biāo)c的量看成常數(shù),待運(yùn)算結(jié)束后,再去除下標(biāo)c。?應(yīng)用矢量恒等式:?(ku)??ku(k為常數(shù))?有?(uv)????uvvu?可以應(yīng)用?算子直角坐標(biāo)公式,驗(yàn)證上式的正確性。但應(yīng)用運(yùn)算規(guī)則更為簡(jiǎn)單,而且也說(shuō)明了?算子與坐標(biāo)無(wú)關(guān)?!纠孔C明??(AB?)?B???(A)?A???(B)?證明:應(yīng)用乘積函數(shù)的微分運(yùn)算規(guī)則??(AB?)???(A?B)???(AB?)cc?應(yīng)用矢量恒等式:A?(BC?)?B?(C?A)?C?(AB?)?于是??(A?B)????(BA

6、?)??A???Bccc??(AB?)?B???(A)cc去掉下標(biāo)c后得證。幾個(gè)重要的矢量公式???(u)?0????(A)?02???(u)??u?fu()?fu?()?u2????(A)????(A)??A???uA??A?????uuA???uA????uA???uA式中:?2為L(zhǎng)aplacian算子,在直角坐標(biāo)系下2222???????????222?x?y?z2【例】證明????(A)????(A)??A????(A)???A?A???A?A???A?A??zyxzyx????a????a????a????xyz???y?z???z?x???x?y??aaa

7、xyz?????x?y?z??A?A???A?A???A?A?zyxzyx???????????y?z???z?x???x?y?222222??A?A???A?A???A?A?yzyyxy????????????xy??xz??x2?z2???xz??zy??a?a???ax?22?y??2?2?z?22??Ax?AxAxAz?Az?Az?????????????y2z2???xy??yz?x2y2?????????????????22?ax????A???Ax??ay????A???Ay???x???y???2??az????A???Az???z?

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