系統(tǒng)預(yù)測4馬爾可夫預(yù)測

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1、7.6馬爾可夫(Markov)預(yù)測1馬爾可夫(Markov)預(yù)測不需要大量的歷史資料，而只需要對(duì)近期狀況作詳細(xì)分析。可用于產(chǎn)品的市場占有率預(yù)測、期望報(bào)酬預(yù)測、人力資源預(yù)測，分析系統(tǒng)的長期平衡條件，為決策提供有意義的參考2馬爾可夫(A.A.Markov)俄國數(shù)學(xué)家又譯：馬爾科夫、馬爾柯夫20世紀(jì)初，研究中發(fā)現(xiàn)自然界一類事物的變化過程僅與近期狀態(tài)有關(guān)，與事物的過去狀態(tài)無關(guān)31、基本概念狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)換若對(duì)研究對(duì)象考慮一系列隨機(jī)試驗(yàn)，其中每次試驗(yàn)的結(jié)果如果出現(xiàn)在有限個(gè)兩兩互斥的事件集E={E1,E2,…,En}中，且僅出現(xiàn)其中一個(gè)，則稱事件Ei∈E為系統(tǒng)的狀態(tài)。若事件Ei出現(xiàn)，則稱系統(tǒng)處在狀態(tài)

2、Ei。狀態(tài)是研究對(duì)象隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間的一個(gè)劃分，系統(tǒng)可能在不同狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)換。一、Markov預(yù)測原理4說明：為了與P167狀態(tài)的標(biāo)記一致，前面的說法可改為：若事件Ei出現(xiàn)，則稱系統(tǒng)處在狀態(tài)Si。許多教材是用E5一、Markov預(yù)測原理1、基本概念Markov過程現(xiàn)實(shí)中有這樣一類隨機(jī)過程，在系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中，系統(tǒng)將來的狀態(tài)只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)。這種性質(zhì)叫做無后效性，符合這種性質(zhì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，叫作馬爾可夫過程。6一、Markov預(yù)測原理過程在時(shí)刻tm所處的狀態(tài)為已知時(shí)，過程在時(shí)刻t(t>tm)所處的狀態(tài)的概率特性只與過程在時(shí)刻tm所處的狀態(tài)有關(guān)，而與過程在時(shí)刻tm

3、以前的狀態(tài)無關(guān)。無后效性的解釋：7無后效性無后效性例子-1直線上的隨機(jī)游動(dòng)已知質(zhì)點(diǎn)現(xiàn)在的位置，將來的情況只與現(xiàn)在的位置有關(guān)，與過去的情況無關(guān)本例：時(shí)間離散、狀態(tài)離散8一、Markov預(yù)測原理無后效性例子-2某地區(qū)每年的氣候按照一定指標(biāo)可分為旱、澇兩種狀態(tài)根據(jù)多年的統(tǒng)計(jì)可形成一個(gè)以年為時(shí)間單位，每時(shí)間只出現(xiàn)旱、澇兩態(tài)之一的時(shí)間離散、狀態(tài)離散的隨機(jī)時(shí)間序列9無后效性無后效性例子-3：電話交換站在t時(shí)刻前到來的呼喚數(shù)（即時(shí)間[0，t]內(nèi)到來的呼喚數(shù)）。10無后效性無后效性例子-3：布朗(Brown)運(yùn)動(dòng)。xy0X(t)具有無后效性是馬爾可夫過程。時(shí)間連續(xù)、狀態(tài)連續(xù)111、基本概念馬爾可夫鏈時(shí)

4、間離散、狀態(tài)離散的馬爾可夫過程例1、例2一、Markov預(yù)測原理提問：其它？12馬爾可夫鏈的定義設(shè)隨機(jī)序列{X(n),n=0,1,2,…}的離散狀態(tài)空間為E={E0,E1,E2,…,En}。若對(duì)于任意m個(gè)非負(fù)整數(shù)n1,n2，…nm和任意自然數(shù)k，以及任意的，滿足則稱{X(n),n=0,1,2,…}為馬爾可夫鏈汪榮鑫，隨機(jī)過程，西安交通大學(xué)出版社，1987（P185）13馬爾可夫鏈的定義記為已知系統(tǒng)在時(shí)刻n處于狀態(tài)i，經(jīng)k個(gè)單位時(shí)間后，系統(tǒng)處于狀態(tài)j的概率14馬爾可夫鏈已知系統(tǒng)在時(shí)刻n處于狀態(tài)i，經(jīng)k個(gè)單位時(shí)間后，系統(tǒng)處于狀態(tài)j的概率與n無關(guān)，即轉(zhuǎn)移概率只與出發(fā)狀態(tài)、轉(zhuǎn)移步數(shù)、到達(dá)狀態(tài)相

5、關(guān)1步轉(zhuǎn)移概率15例1：出租公司車站租、還車一步轉(zhuǎn)移概率。還車機(jī)場風(fēng)景區(qū)賓館租車機(jī)場風(fēng)景區(qū)賓館0.80.20.20.200.200.80.6一、Markov預(yù)測原理轉(zhuǎn)移概率？162、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣設(shè)系統(tǒng)共有N個(gè)狀態(tài)，記作S1，S2，…，SN，則用狀態(tài)向量［S1，S2，…,SN］T表示。設(shè)在tn-1時(shí)刻系統(tǒng)處在Si狀態(tài)之下，tn時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)變?yōu)镾j，則稱在第n次狀態(tài)轉(zhuǎn)移中，系統(tǒng)由狀態(tài)Si轉(zhuǎn)移到Sj，且這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率記為p{xn=Sj

6、xn-1=Si}pij(i,j=1,…,N；n=1,2,…)這里pij與n無關(guān)，只與i,j有關(guān)，即只與轉(zhuǎn)移前后的狀態(tài)有關(guān)，稱為馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移

7、概率。一、Markov預(yù)測原理17一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如果系統(tǒng)有N個(gè)狀態(tài)，則一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：一、Markov預(yù)測原理18轉(zhuǎn)移概率矩陣的特點(diǎn)一、Markov預(yù)測原理提問？19寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣-1伯努利實(shí)驗(yàn)，每次成功的概率為p，失敗的概率為q；各次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立。成功用狀態(tài)“1”表示，失敗用狀態(tài)“2”表示。第n次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果記為X(n)。X(n)符合無后效性特點(diǎn)，故為馬爾可夫鏈。20一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=1-q21寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣-1天氣預(yù)報(bào)問題如果明天是否有雨僅與今天的天氣（是否有雨）相關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。設(shè)今天下雨、明天有雨的概率為α，今天無雨、明天下雨的概率為β；假定把有雨稱

8、為0狀態(tài)天氣，無雨稱為1狀態(tài)天氣。則本問題是一個(gè)兩狀態(tài)的馬爾可夫鏈。一步轉(zhuǎn)移概率矩陣？22一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的含義？23切普曼-柯爾莫哥洛夫方程(Chapman-Kolmogorov)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率之間有下列關(guān)系：設(shè)，則直觀含義：要想從狀態(tài)i出發(fā)經(jīng)過k+l步到達(dá)狀態(tài)j，必須先經(jīng)k步到達(dá)任意狀態(tài)r，然后再經(jīng)l步由狀態(tài)r到達(dá)狀態(tài)j24概率矩陣的特點(diǎn)-2正規(guī)概率矩陣若存在m為正整數(shù)，概率矩陣P的m次冪Pm的所有元素皆為正，則P稱為正規(guī)概率矩陣。一