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《實變函數(shù)(復(fù)習(xí)資料,帶答案)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、《實變函數(shù)試卷一一、單項選擇題(3分X5=15分)1、下列各式正確的是()oooooooo(A)limA=unA;(B)limA=nuA;n—h=1k=n，?一z?=lk=n00000000(C)limA"=nu;(D)lim=Ak;打一＞ooz:=lk=nz?=lk=n2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是()(A)~P=c(B)mP=0(C)P=P(D)P=P3、下列說法不正確的是()(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測(B)可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可測4、設(shè)以(4
2、是￡上的e有限的可測函數(shù)列，則下而不成立的是()(A)若又(x)=>/(x),則又(x)+/(x)(B)sup{/?Cr)}是可測函數(shù)(Oinf{//%)}是可測函數(shù)；(D)若/TH又⑺=>/U)，則/(X)可測5、設(shè)f(X)是上有界變差函數(shù)，則卜*面不成立的是()(A)/(X)在［6Z，/7］上有界(B)/(X)在［6/，刎上兒乎處處存在導(dǎo)數(shù)cb(C)/(X)在上L可積(D)Jafx)cbc=f(b)-f(a)二.填空題(3分X5=15分)1、(CsAuCv5)n(A-(A-B))=2、設(shè)￡是［0，1］上有理
3、點全體，則E-,E-,E-.3、設(shè)￡是/?。中點集，如果對任一點集r都,貝1J稱￡是￡可測的4、/⑶可測的條件是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù).(填“充分”，“必要”，“充要”)5、設(shè)/(x)為上的有限函數(shù)，如果對于的一切分劃，使，則稱/(x)為［6Z，/7］上的有界變差函數(shù)。三、下列命題是否成立?若成立，則證明之;若不成立，則舉反例說明.(5分X4=20分)1、設(shè)Ec/?1,若萬是稠密集，則C￡是無處稠密集。2、若mE=O,則￡一定是可數(shù)集.3、若
4、/(x)
5、是可測函數(shù)，則/(x)必是可測函數(shù)4、設(shè)7Xx)在
6、可測集￡上可積分，若/^￡，/0)〉0，貝^2、（8分）求linjn“五、證明題（6分X4+10=34分）.1、（6分）證明fO，l］上的全體無理數(shù)作成的集其勢為e~xeosxdx四、解答題（8分X2=16分）.了，則/（x）在［0，1］上是否/?-U，x為南理數(shù)可積，是否L-可積，若可積，求出積分值。ln（x+n）2、（6分）設(shè)/（X）是（-oo，+oo；）上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意一、1.C2D3.B4.A5.D二、1.02、[0,1]；0；[0,1]3,mT-m(Tn￡)+m'(TnCE)4、充要5、i
7、p，⑷-，（么叫成一有界數(shù)集。三、1.錯誤2分例如：設(shè)￡是［0，1］上有理點全體，則￡和（?￡都在丨0，1］中稠密5分2.錯誤2分例如：設(shè)￡是0/*廠集，則m￡=0,但￡=（:,故其為不可數(shù)集5分3.錯誤例如：設(shè)￡是卜，^上的不可測集，/?U)二X,XE￡;-x,xe[a,b]-E;則l/W
8、是h，/7］上的可測函數(shù)，但/（X）不是［以］上的可測函數(shù)…4.錯誤m￡=0時，對E上任意的實函數(shù)/⑺都有］7（%詠=0E四、1./⑴在［0，1］上不是/?-可積的，因為/Cr）僅在x=l處常數(shù)61，￡={%
9、/（；1）^}
10、是閉集。3、（6分）在上的任一有界變差函數(shù)/（幻都可以表示為兩個增函數(shù)之差。4、（6分）設(shè)772￡<00，/（幻在￡上可積,A=￡（1/1^7），貝IJlimz?-men=0.nfc5、（10分）設(shè)/（幻是￡上^.有限的函數(shù)，若對任意5〉0，存在閉子集^c￡,使/（x）在^上連續(xù)，且證明：/（幻是￡上的可測函數(shù)。（獸津定理的逆定理題瞥（參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)）連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集……..3分因為/（x）是有界可測函數(shù)，/(x)在［0，1］上是L-可積的."6分因為/(x)與x2“.e.相等，進一步，J*Q1/(
11、x)tZr==丄...8分2.解：設(shè)人⑺=lnCY+/?)fcow,則易知當(dāng)，74oo時，n又⑺七02分又因int1-lnrt2<0,(r>3),所以當(dāng)n仝3，x20吋，ln(A+n)"+%ln(X+n)<^^<^(l+x)……4分3.x+nIn3從而使得I人(那〒(1+x)e~x但是不等式右邊的函數(shù)，在f0，+oo；)上是L可積的，故有l(wèi)im￡fn{x)dx=￡lim/n(^x)dx=08分五、1.設(shè)￡=[0，1],Zl=￡n2，S=￡(￡n2).?.?S是無限集,.可數(shù)子集A/cS2分...欠是可數(shù)集，??
12、?欠uA/口M..3分vB=Mu(BA/),￡=AuB=AuA/u(BM),???￡*]B，:.B=c.6分2.Vxg￡'，則存在腫的互異點列UJ，使limx?=x.2分???x，￡，???f(xn)>a3分???/(x)在x點連續(xù)，人/(%)=limf(xn)>aZ?—>oo???xeE5分???￡是閉集..6分對r=l,3J>0,使對任意互不相交的有限個(6Zp/
