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1、《實變函數(shù)》試卷一一、單項選擇題（3分×5=15分）1、下列各式正確的是（）（A）;（B）;（C）;（D）;2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是（）（A）c(B)(C)(D)3、下列說法不正確的是（）(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測（B）可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可測4、設(shè)是上的有限的可測函數(shù)列,則下面不成立的是()（A）若,則(B)是可測函數(shù)（C）是可測函數(shù);（D）若,則可測5、設(shè)f(x)是上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（）(A)在上有界(B)在上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)（C）在上L可積(D)二.填空題(3分×5=15分)1、 ______
2、___2、設(shè)是上有理點全體，則=______,=______,=______.3、設(shè)是中點集，如果對任一點集都_________________________________，則稱是可測的4、可測的________條件是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù).（填“充分”，“必要”，“充要”）5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對于的一切分劃，使_____________________________________,則稱為上的有界變差函數(shù)。三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說明.(5分×4=20分)1、設(shè)，若E是稠密集，則是無處稠密集。2、若，則一定是可數(shù)集.3、若是可測函數(shù)，
3、則必是可測函數(shù)4．設(shè)在可測集上可積分，若，則（第15頁，共15頁）四、解答題（8分×2=16分）.1、（8分）設(shè)，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值?？忌痤}不得超過此線2、（8分）求五、證明題（6分×4+10=34分）.1、（6分）證明上的全體無理數(shù)作成的集其勢為.2、（6分）設(shè)是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)是閉集。考生答題不得超過此線3、（6分）在上的任一有界變差函數(shù)都可以表示為兩個增函數(shù)之差。4、（6分）設(shè)在上可積，，則.5、（10分）設(shè)是上有限的函數(shù)，若對任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測函數(shù)。(魯津定理的逆定理試卷一（參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)）一、1.C2D
4、3.B4.A5.D二、1．2、；；3、4、充要5、成一有界數(shù)集。三、1．錯誤2分例如：設(shè)是上有理點全體，則和都在中稠密5分2．錯誤2分例如：設(shè)是集，則，但c，故其為不可數(shù)集5分3．錯誤例如：設(shè)是上的不可測集，則是上的可測函數(shù)，但不是上的可測函數(shù)…4．錯誤四、1．在上不是可積的，因為僅在處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集……..3分因為（第15頁，共15頁）是有界可測函數(shù)，在上是可積的…6分因為與相等，進一步，…8分2．解：設(shè)，則易知當(dāng)時，2分又因，()，所以當(dāng)時，……4分從而使得………………………6分但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有…………………8分五、1．設(shè)………………2分…………………
5、…………….3分………..5分…………………………6分2．……….2分………………….3分………………5分………………………….6分3.對，，使對任意互不相交的有限個當(dāng)時，有………………2分將等分，使，對，有，所以在上是有界變差函數(shù)……………….5分所以從而，因此，是（第15頁，共15頁）上的有界變差函數(shù)………..6分4、在上可積……2分據(jù)積分的絕對連續(xù)性，，有……….4分對上述，從而，即…………………6分5．存在閉集在連續(xù)…………2分令，則在連續(xù)………4分又對任意,………………………….6分故在連續(xù)…………..8分又所以是上的可測函數(shù)，從而是上的可測函數(shù)……………………..10分《實變函數(shù)
6、》試卷二一.單項選擇題（3分×5=15分）1．設(shè)是兩集合，則=（）(A)(B)(C)(D)2.下列說法不正確的是()(A)的任一領(lǐng)域內(nèi)都有中無窮多個點，則是的聚點(B)的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個中異于的點，則是的聚點(C)存在中點列，使，則是的聚點(D)內(nèi)點必是聚點3.下列斷言()是正確的。（A）任意個開集的交是開集；(B)任意個閉集的交是閉集；(C)任意個閉集的并是閉集；(D)以上都不對；4.下列斷言中()是錯誤的。（A）零測集是可測集；（B）可數(shù)個零測集的并是零測集；（C）任意個零測集的并是零測集；（D）零測集的任意子集是可測集；5.若，則下列斷言（）是正確的（第15頁，共15頁）(A)在可
7、積在可積；(B)(C);(D)二.填空題(3分×5=15分)1、設(shè)，則_________。2、設(shè)為Cantor集，則，_____，= ________。3、設(shè)是一列可測集，則4、魯津定理：__________________________________________5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果_________________則稱為上的絕對連續(xù)函數(shù)。三.下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則說明
