抽象函數(shù)問題求解的常用方法.doc

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1、抽象函數(shù)問題求解的常用方法抽象函數(shù)型綜合問題，一般通過對函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)表述，綜合考查學(xué)生對于數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，考查對于函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，考查學(xué)生對于一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識．可以說，這一類問題，是考查學(xué)生能力的較好途徑，因此，在近年的高考中，這一類題目有增多和分量加重的趨勢．【方法薈萃】1．函數(shù)原型法【例1】給出四個(gè)函數(shù)，分別滿足①；②；③；④，又給出四個(gè)函數(shù)圖象正確的匹配方案是（）（A）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—?。–）①—丙②—甲③—乙④—?。―）①—?、凇注邸尧堋治雠c解：抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象

2、而成的。如正比例函數(shù)可抽象為。因此，我們可得知如下結(jié)論：（1）抽象函數(shù)可由一個(gè)特殊函數(shù)正比例函數(shù)抽象而成的；（2）抽象函數(shù)可由一個(gè)特殊函數(shù)冪函數(shù)抽象而成的；（3）抽象函數(shù)可由一個(gè)特殊函數(shù)指數(shù)函數(shù)抽象而成的；（4）抽象函數(shù)可由一個(gè)特殊函數(shù)對數(shù)函數(shù)抽象而成的；（5）抽象函數(shù)=可由一個(gè)特殊函數(shù)正切函數(shù)抽象而成的；根據(jù)上述分析，可知應(yīng)選D。2．代數(shù)演繹法【例2】設(shè)定義在上的函數(shù)對于任意都有成立，且，當(dāng)時(shí)，。（1）判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；（2）試問：當(dāng)-2003≤≤2003時(shí)，是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說明理由；（3）解關(guān)于的不等式，其中.分析與解：

3、⑴令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，則f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)⑵設(shè)－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2則f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2)－f(x1)，因?yàn)閤＞0時(shí)，f(x)＜0，故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0。∴f(x2)＜f(x1)、f(x)在區(qū)間[－2003、2003]上單調(diào)遞減∴x=－2003時(shí)，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－

4、2003f(1)=4006。x=2003時(shí)，f(x)有最小值為f(2003)=－4006。⑶由原不等式，得[f(bx2)－f(b2x)]＞f(x)－f(b)。即f(bx2)+f(－b2x)＞2[f(x)+f(－b)]∴f(bx2－b2x)＞2f(x－b)，即f[bx(x－b)]＞f(x－b)+f(x－b)∴f[bx(x－b)]＞f[2f(x－b)]由f(x)在x∈R上單調(diào)遞減，所以bx(x－b)＜2(x－b)，∴(x－b)(bx－2)＜0∵b2≥2,∴b≥或b≤－當(dāng)b＞時(shí)，b＞，不等式的解集為當(dāng)b＜－時(shí)，b＜，不等式的解集為當(dāng)b=－時(shí)，不等式的解集為當(dāng)b=時(shí)，不等

5、式解集為φ評注：本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)、不等式解法及分類討論等數(shù)學(xué)思想。本題中，若滿足，則是奇函數(shù)。這一命題在解決問題中起著較大作用。事實(shí)上，對于抽象函數(shù)往往存在奇偶性:（1）若函數(shù)滿足，則是奇函數(shù)（2）若函數(shù)滿足，則是奇函數(shù)（3）若函數(shù)滿足=，則是奇函數(shù)（4）若函數(shù)滿足，，則是偶函數(shù)。3．特殊值法【例3】已知定義在上的函數(shù)滿足：（1）值域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，；（2）對于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)，均滿足：試回答下列問題：（Ⅰ）試求的值；（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）若函數(shù)存在反函數(shù)，求證：．分析與解：（Ⅰ）在中，令，則有．即：．也即：．由于函數(shù)的值域?yàn)?，所以，，所以．（Ⅱ?/p>

6、函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯(lián)想到：是否有？（＊）這個(gè)問題實(shí)際上是：是否成立？為此，我們首先考慮函數(shù)的奇偶性，也即的關(guān)系．由于，所以，在中，令，得．所以，函數(shù)為奇函數(shù)．故（＊）式成立．所以，．任取，且，則，故且．所以，，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減．（Ⅲ）由于函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)必存在反函數(shù)，由原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可知：也為奇函數(shù)；在上單調(diào)遞減；且當(dāng)時(shí)，．為了證明本題，需要考慮的關(guān)系式．在（＊）式的兩端，同時(shí)用作用，得：，令，則，則上式可改寫為：．不難驗(yàn)證：對于任意的，上式都成立．（根據(jù)一一對應(yīng)）．這樣，我們就得到了的關(guān)系式．這個(gè)式子給我們

7、以提示：即可以將寫成的形式，則可通過裂項(xiàng)相消的方法化簡求證式的左端．事實(shí)上，由于，所以，．所以，點(diǎn)評：一般來說，涉及函數(shù)奇偶性的問題，首先應(yīng)該確定的值．【專項(xiàng)練習(xí)】1．（2005年廣東省高考試題）設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有．（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）試求方程=0在閉區(qū)間［-2005，2005］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．2．（2002北京高考題）已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的都滿足：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．3．定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實(shí)數(shù)，總有，且當(dāng)時(shí)，．（1）試

8、求的值；（