抽象函數(shù)問題地求解策略.doc

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1、抽象函數(shù)問題的求解策略函數(shù)是每年高考的熱點，而抽象函數(shù)問題又是函數(shù)的難點之一。抽象函數(shù)通常是指沒有給出具體函數(shù)的解析式，只給出了其他一些條件（如函數(shù)的定義域、特定點的函數(shù)值、解析遞推式、特定的運算性質、部分圖象特征等）的函數(shù)。由于抽象函數(shù)沒有具體的解析式作為載體，因此理解、研究起來往往比較困難。但因為這類問題對于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新實踐能力，增強應用數(shù)學意識有著十分重要的作用，所以在近幾年成為數(shù)學命題的生長點。對于抽象函數(shù)問題，一般是由所給的性質,討論函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性及圖象的對稱性，或是求函數(shù)值、解析式等。因為問題本身的抽象性和性質的隱蔽性，可以利用特殊模型法

2、、函數(shù)性質法、特殊化方法、類比聯(lián)想轉化法等從多層面、多角度去分析、研究抽象函數(shù)問題。一、特殊模型法根據(jù)抽象函數(shù)的性質，找出一個對應的具體函數(shù)模型，再研究它的其它性質。在高中數(shù)學中，常見抽象函數(shù)所對應的具體特殊函數(shù)模型歸納如下：抽象函數(shù)的性質對應特殊函數(shù)模型1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）例1：已知函數(shù)對任意實數(shù)x，y，均有，且當時，，，求在區(qū)間[－2，1]上的值域。解：設，則，∵當時，，∴，∵，∴，即，∴為增函數(shù)在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y(tǒng)＝0，則，∴，故，為奇函數(shù)，∴　，又，∴的值

3、域為［－4，2］。2、二次函數(shù)型抽象函數(shù)————二次函數(shù)型抽象函數(shù)即由二次函數(shù)抽象而得到的函數(shù)若抽象函數(shù)滿足，總有，則可用二次函數(shù)為模型引出解題思路；例2：已知實數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個實根,則這5個根之和=_____________【分析】：因為實數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個實根，可以將該函數(shù)看成是類似于二次函數(shù)為模型引出解題思路，即函數(shù)的對稱軸是，并且函數(shù)在，其余的四個實數(shù)根關于對稱，解：因為實數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個實根，所以函數(shù)關于直線對稱，所以方程的五個實數(shù)根也關于直線對稱，其中有一個實數(shù)根為2，其它四個實數(shù)根位于直線兩側，關于直

4、線對稱，則這5個根之和為103、指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝例3：設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)。其圖象關于直線y＝x對稱，對任意x1，x2，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，且f(1)＝a＞0．(Ⅰ)求及；(Ⅱ)證明f(x)是周期函數(shù)；(Ⅲ)記，求．(Ⅰ)解：可以考慮指數(shù)函數(shù)的模型指導解題的思路，例如運用函數(shù)由知：≥0，x∈[0，1]∵，f(1)＝a＞0，∴∵，∴(Ⅱ)證明：依題設y＝f(x)關于直線x＝1對稱，故f(x)＝f(1＋1－x)，即f(x)＝f(2－x

5、)，x∈R又由f(x)是偶函數(shù)知f(－x)＝f(x)，x∈R將上式中－x以x代換，得f(x)＝f(x＋2)，x∈R這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期．(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f(x)＞0，x∈[0，1]∴∵f(x)的一個周期是2，∴，因此∴．例4．定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，總有，且當時，．（1）試求的值；（2）判斷的單調性并證明你的結論；（3）設，若，試確定的取值圍．（4）試舉出一個滿足條件的函數(shù)．解：（1）在中，令．得：．因為，所以，．（2）要判斷的單調性，可任取，且設．在已知條件中，若取，則已知條件可化為：．由于，所以．為比較的大小，只需考慮

6、的正負即可．在中，令，，則得．∵時，，∴當時，．又，所以，綜上，可知，對于任意，均有．∴．∴函數(shù)在R上單調遞減．（3）首先利用的單調性，將有關函數(shù)值的不等式轉化為不含的式子．，即．由，所以，直線與圓面無公共點．所以，．解得：．（4）如．點評：根據(jù)題意，將一般問題特殊化，也即選取適當?shù)奶刂担ㄈ绫绢}中令；以及等）是解決有關抽象函數(shù)問題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個適合題目條件的函數(shù)4、對數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝f（x）－f（y）例5：已知函數(shù)滿足定義域在上的函數(shù)，對于任意的，都有

7、，當且僅當時，成立，（1）設，求證；（2）設，若，試比較與的大?。唬?）解關于的不等式分析：本題是以對數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)，可以參考對數(shù)函數(shù)的基本性質解題證明：（1）∵，∴，∴（2）∵，∴，即∵當且僅當時，成立，∴當時，，∴，（3）令代入得，，∴關于的不等式為，由（2）可知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，∴，由得，當時，，此時成立；當時，，此時成立；當，，此時成立。例6：已知函數(shù)對一切實數(shù)?、滿足，,且當時，，則當時的取值圍是__________?！　　　　　　　》治觯簶嬙焯厥夂瘮?shù)，顯然滿足，且時，；解：令，因當時，，故，由指數(shù)函數(shù)圖像得，當時有?！驹u注】借助特殊函