關(guān)于導(dǎo)數(shù)地29個(gè)典型習(xí)地的題目

關(guān)于導(dǎo)數(shù)地29個(gè)典型習(xí)地的題目

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔關(guān)于導(dǎo)數(shù)的29個(gè)典型習(xí)題習(xí)題1設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)類(有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)),且若在時(shí)是比高階的無窮小,試確定的值。解由題設(shè)知.由洛比達(dá)法則知故聯(lián)立可解出習(xí)題2設(shè)其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且.(1)求(2)討論在上的連續(xù)性.解(1)當(dāng)時(shí),用公式有當(dāng)時(shí),用定義求導(dǎo)數(shù),有(2)因在處有而在處連續(xù),故習(xí)題3證明:若(圓),其中為定數(shù)則定數(shù)。證求導(dǎo),即再導(dǎo)一次,即精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔注恰是圓的半徑.習(xí)題4證明:若在內(nèi)可導(dǎo),且則證作輔助函數(shù)應(yīng)Cauchy中值定理.,由Cauchy中值定理有(顯然)或或因即于是,

2、.即習(xí)題5設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù),且證明證以及任意,則有即由題設(shè)知下面求使為最小。為此令解出而故知在處為最小.從而可知習(xí)題6設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且試證使得精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔證取數(shù)由介值定理知使在區(qū)間上分別應(yīng)用微分中值定理有從而顯然,當(dāng)取則且代入得習(xí)題7求在處的100階導(dǎo)數(shù)值。解由Taylor公式有.故習(xí)題8設(shè)證明證設(shè)應(yīng)用Lagrange中值定理有又設(shè)則當(dāng)時(shí),此時(shí)單減.從而即習(xí)題10設(shè)在內(nèi)有定義,存在,且滿足如果求證證故使欲證只需證明反證法,若則又為極大,故但另一方面精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔矛盾。故知若則仿上面的

3、證明,有另一方面矛盾。故命題得證。習(xí)題11設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo),又設(shè)聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn),求證:在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使證對(duì)在上分別應(yīng)用Lagrange中值定理,使由于三點(diǎn)在同一直線上,所以再對(duì)在上應(yīng)用Rolle定理可得:使習(xí)題12設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)試證使得證令則在上二階可導(dǎo),且對(duì)在上分別應(yīng)用Rolle定理,使對(duì)由于在上可導(dǎo),再用Rolle定理,使得而令即得所求證的等式。習(xí)題13設(shè)二階可導(dǎo),且求證證二階可導(dǎo),且可導(dǎo),由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),使為最小值,且再由Taylor公式有其中介于與之間,分別取得當(dāng)時(shí)

4、,由前式推出當(dāng)精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔時(shí),由后式推出由此即得習(xí)題14設(shè)試證證令則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且由得唯一駐點(diǎn)由于在上的最大值為1,最小值為于是習(xí)題15設(shè)在上二階可導(dǎo),則在內(nèi)必存在一點(diǎn)使證將在處展開,令即類似在處展開,令則有相減得所以其中,即在內(nèi)存在一點(diǎn),使習(xí)題16設(shè)在上二階可導(dǎo),且證明證將在點(diǎn)展開,求出的值:精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔相減因此因?yàn)楣视挟?dāng)時(shí),即習(xí)題17設(shè)在上二階可導(dǎo),且其最大值在內(nèi)達(dá)到:試證證(類似方法處理,先將在某點(diǎn)展開,再將0,1分別代入)設(shè)是的最大值點(diǎn),則有且應(yīng)用Taylor公式有因

5、此于是習(xí)題22設(shè)且證明使(提示:用三階Taylor公式,將在處展開,然后分別用0,1代,相減,利用條件便有即于是,即在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使)精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性1.增量:變量從初值變到終值,終值與初值的差叫變量的增量,記作,即=-。(增量可正可負(fù))。例1分析函數(shù)當(dāng)由變到時(shí),函數(shù)值的改變量。2.函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義   定義1:設(shè)函數(shù)=在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果自變量的增量=趨向于零時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)增=也趨向于零,則稱函數(shù)=在點(diǎn)處連續(xù)?!《x2:設(shè)函數(shù)=

6、在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在,即,則稱函數(shù)=在點(diǎn)處連續(xù)。定義3:設(shè)函數(shù)=在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)任意給定的正數(shù),總存在正數(shù),使得對(duì)于適合不等式的一切,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式:,則稱函數(shù)=在點(diǎn)連續(xù)。注:1、上述的三個(gè)定義在本質(zhì)上是一致的,即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:(1)函數(shù)=在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義(函數(shù)=在點(diǎn)有定義),(2)存在;(3)。3.函數(shù)=在點(diǎn)處左連續(xù)、右連續(xù)的定義:(1)函數(shù)=在點(diǎn)處左連續(xù)?在內(nèi)有定義,且(即)。(2)函數(shù)=在點(diǎn)處右連續(xù)?在內(nèi)有定義

7、,且(即)。顯然,函數(shù)=在點(diǎn)處連續(xù)?函數(shù)=在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)。(3)、函數(shù)=在點(diǎn)處連續(xù)是存在的充分條件,而非必要條件。3、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔定義4:如果函數(shù)=在某一區(qū)間上每一點(diǎn)都是連續(xù)的(如果此區(qū)間包含端點(diǎn),且在左端點(diǎn)處右連續(xù),在右端點(diǎn)處左連續(xù)),則稱函數(shù)=在該區(qū)間上是連續(xù)的。例1:討論下列函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性(1)(2)(3)例2:設(shè),試確定的值,使函數(shù)在處連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(一).間斷點(diǎn)概念:設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義(在點(diǎn)處可以無定義),如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù),則稱點(diǎn)為函數(shù)

8、的一個(gè)間斷點(diǎn)(或不連續(xù)點(diǎn))。函數(shù)在點(diǎn)連續(xù):函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù):(1)函數(shù)在點(diǎn)有定義,(1*)函數(shù)=在點(diǎn)沒有定義(2)存在;(2*)不存在(3)(3*)存在,但在點(diǎn)沒有定義,或(二).間斷點(diǎn)的分類設(shè)為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn),1、第一類間斷點(diǎn),都存在,(1)若=,即存在,此類間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)。函數(shù)在點(diǎn)無定義,函數(shù)在點(diǎn)有定義,但。(2)若1,即不存在,此類間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)。2.第二類間斷點(diǎn)與中至少有一個(gè)不存在。其中有兩類特殊的間斷點(diǎn):無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。例3:討論下列函數(shù)

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