極限與連續(xù)地62個典型習地的題目

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1、實用標準文檔極限與連續(xù)的62個典型習題習題1設，求.解記，則有，.另一方面.因為，故.利用兩邊夾定理，知，其中.例如.習題2求.解,即..利用兩邊夾定理知.　精彩文案實用標準文檔習題3　求.解習題4　求.解（變量替換法）令，則當時，于是,原式.習題5求.解（變量替換法）令，原式.習題6求(型)。為了利用重要極限，對原式變形精彩文案實用標準文檔習題7求　.解原式.習題8　求.解由于.而.故不存在。習題9　研究下列極限（1）.∵　原式，其中，.∴上式極限等于0，即.（2）.精彩文案實用標準文檔因為　，,所以.（3）.原式.習題10　計算.解原式.習題

2、11.習題12已知，求的值。解首先，∴原式，∴，而.習題13下列演算是否正確？.習題14求.解原式精彩文案實用標準文檔.習題15求.解∵，，原式=0.習題16證明（為常數）。證（令）.習題17求.解原式.習題18求.解(連續(xù)性法)原式.精彩文案實用標準文檔習題19試證方程（其中）至少有一個正根，并且它不大于.證設，此初等函數在數軸上連續(xù)，在上必連續(xù)?！叨簦瑒t就是方程的一個正根。若，則由零點存在定理可知在內至少存在一點，使.即故方程至少有一正根，且不大于.習題21求.解原式.習題20設滿足且試證證取使得當時有即亦即于是遞推得從而由兩邊夾準則有習題

3、22用定義研究函數的連續(xù)性。證首先，當是連續(xù)的。同理，當精彩文案實用標準文檔也是連續(xù)的。而在分段點處故習題23求證.證∵，而.由兩邊夾定理知，原式成立.習題24設任取記試證存在，并求極限值。證故由題設由于故單調有下界，故有極限。設精彩文案實用標準文檔由解出（舍去）。習題25設求解顯然有上界，有下界當時即假設則故單增。存在。設則由得即（舍去負值）。當時，有用完全類似的方法可證單減有下界，同理可證習題26設數列由下式給出求解不是單調的，但單增，并以3為上界，故有極限。設單減，并以2為下界，設在等式兩邊按奇偶取極限，得兩個關系，解出由于的奇數列與偶數列

4、的極限存在且相等，因此精彩文案實用標準文檔的極限存在，記于是故有解出（舍去負值）習題27設試證收斂，并求極限。證顯然假設則由，可解出（舍去）。下面證明收斂于由于，遞推可得由兩邊夾可得故習題28設試證（1）存在；（2）當時，當時，證顯然有又單減有下界。收斂。令在原式兩邊取極限得由此可解出或當時，歸納假設則而，有因此時即時）。精彩文案實用標準文檔當時，由的單減性便知即當時，即（當時）。習題29習題30若收斂，則證收斂，設故必有界。設因此而習題31求變量替換求極限法（為求有時可令而）習題32求（為自然數）解令則因此習題33求解令且當時故原式精彩文案實用

5、標準文檔習題34求解先求令則上式故原式用等價無窮小替換求極限習題35求解記原式==習題36設與是等價無窮小，求證（1）（2）證即其中故精彩文案實用標準文檔（2）習題37設為自然數，試證使證（分析：要證使即要證有根）令，顯然在上連續(xù)，于是記則又對函數應用介值定理，知使即存在使習題38設證明使精彩文案實用標準文檔證（分析：將結果變形）記則于是或由介值定理知即習題39設且證使證反證法。若不存在點使即均有連續(xù)，不妨設恒有于是此與矛盾。故使習題40設且又證明至少有一點使證故在上有最大值和最小值,使于是由介值定理，知使習題41證明方程至少有一個小于1的正根。

6、證設顯然但使即方程至少有一個小于1的正根存在。精彩文案實用標準文檔習題42設連續(xù)，求解故由于在=1，-1處連續(xù)，所以習題43試證方程至少有一個實根。證做函數顯然使即在內必有實根。習題44求的連續(xù)區(qū)間。（解：先改寫為分段函數，結論為：習題45求為何值時，函數，在上處處連續(xù)。只需討論分段點處的連續(xù)性：要在處連續(xù)，必有精彩文案實用標準文檔習題46設，定義求解有下界即有又，即單減有下界，故有極限。設且有有（舍去負根）（注意：先證明極限的存在是必要的。）習題47（解：單增有上界，可解出極限）習題48設且證明使證若則取若則可取則令必有且由零點定理知使即習題4

7、9(選擇題)設在內有定義，連續(xù)且有間斷點，則(A)必有間斷點，(B)必有間斷點，(C)必有間斷點，(D)必有間斷點.精彩文案實用標準文檔解選[D]（(A)因的值域可能很小。(B)反例而無間斷點。(C)總有定義。習題50證明方程至少有一個正根，且不超過證設而如果則即為的零點.如果則由介值定理知使即為所求,故原命題成立.習題51若函數可以達到最大值和最小值，求證證設則對任意有或有由的任意性，可知習題52設且恒大于零，證明在上連續(xù).證任取由于在處連續(xù)且大于使當時（若為左端點，則應為類似處理有精彩文案實用標準文檔可找到使當時有取則當時，有故知在處連續(xù)。由

8、的任意性，知在上連續(xù).習題53設試討論在處的連續(xù)性.解時，在處連續(xù)，時，為的跳躍間斷點（第一類間斷點).當時為第二間斷點。習題54設函數