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《9抽屜原理——崔衰衰奇遇記 》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、抽屜原理——崔衰衰奇遇記本講要點本講主要是講在數論方面構造抽屜解決實際問題，主要講構造抽屜的技巧，其中用到一些余數性質，為以后要講的同余定理做了鋪墊.把所有整數按照除以某個自然數m的余數分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，…，[]表示.每一個類含有無窮多個數，例如[1]中含有1，，，，….在研究與整除有關的問題時，常用剩余類作為抽屜.根據抽屜原理，可以證明：任意個自然數中，總有兩個自然數的差是的倍數．例1從1、2、3、4、…、19、20這20個自然數中，至少任選幾個數，就可以保證其中一定包括兩個數，
2、它們的差是12．【分析】在這20個自然數中，差是12的有以下8對：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝． 另外還有4個不能配對的數｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要有兩個數取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據抽屜原理至少任選13個數，即可辦到（取12個數：從12個抽屜中各取一個數（例如取1，2，3，…，12），那么這12個數中任意兩個數的差必不等于12）．例2從1到20這20個數中，任取11
3、個不同的數，必有兩個數其中一個是另一個數的倍數．【分析】把這20個數分成以下10組，看成10個抽屜：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5個抽屜中，任意兩個數都有倍數關系．從這10個抽屜中任選11個數，必有一個抽屜中要取2個數，它們只能從前5個抽屜中取出，這兩個數就滿足題目要求．例3證明：任取8個自然數，必有兩個數的差是7的倍數．在與整除有關的問題中有這樣的性質，如果兩個整數a、b，它們除以自然數m的余數相同，那么它
4、們的差是m的倍數.根據這個性質，本題只需證明這8個自然數中有2個自然數，它們除以7的余數相同.我們可以把所有自然數按被7除所得的7種不同的余數0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個抽屜.任取8個自然數，根據抽屜原理，必有兩個數在同一個抽屜中，也就是它們除以7的余數相同，因此這兩個數的差一定是7的倍數．例4從1，2，3，……49，50這50個數中取出若干個數，使其中任意兩個數的和都不能被7整除，則最多能取出多少個數？【分析】將至這個數，按除以的余數分為類：，，，，，，，所含的數的個數分別為，，，，，，.被7除余1與余
5、6的兩個數之和是7的倍數，所以取出的數只能是這兩種之一；同樣的，被7除余2與余5的兩個數之和是7的倍數，所以取出的數只能是這兩種之一；被7除余3與余4的兩個數之和是7的倍數，所以取出的數只能是這兩種之一；兩個數都是7的倍數，它們的和也是7的倍數，所以7的倍數中只能取1個．所以最多可以取出個例5在任意的五個自然數中，是否其中必有三個數的和是3的倍數？【分析】任何整數除以3的余數只能是0，1，2三種情形之一．現在，對于任意的五個自然數，根據抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的數，于是可分下面兩種情形來加以討論．第一種情
6、形：有三個數在同一個抽屜里，即這三個數除以3后具有相同的余數．因為這三個數的余數之和是其中一個余數的3倍，故能被3整除，所以這三個數之和能被3整除．第二種情形：至多有兩個數在同一個抽屜里，那么每個抽屜里都有數，在每個抽屜里各取一個數，這三個數被3除的余數分別為0，1，2．因此這三個數之和能被3整除．綜上所述，在任意的五個自然數中，其中必有三個數的和是3的倍數．例6【分析】求證：在邊長為1的正方形內隨意放進9個點，證明其中必有3個點構成的三角形的面積不大于．如圖所示，把正方形分成四個形狀大小相同的正方形，每個小正方形的面積是
7、大正方形的．將這9個點任意放入這四個正方形中．根據抽屜原理，多于2×4個點放入四個正方形中，至少有2+1個點落在其中一個正方形之內，則把落在這正方形中的三點組成的三角形，其面積不超過小正方形面積的，所以其面積不超過大正方形面積的．家庭作業(yè)1.從1，4，7，10，…，37，40這14個數中任取8個數，試證：其中至少有2個數的和是41.【分析】構造和為的抽屜：，，，，，，，現在取個數，一定有兩個數取在同一個抽屜，所以至少有2個數的和是41.2.從1，3，5，7，…，37，39這20個奇數中任意取出14個，試證明：其中至少有2個
8、數，一個數是另一個數的倍數.【分析】將這20個奇數按倍數關系構造（1，3，9，27），（5，15），（7，21），（11，33），（13，39），（17），（19），（23），（25），（29），（31），（35），（37）共13個抽屜，前5個抽屜，各抽屜內任意兩數都存在倍數關系.取個數，一定會在同一抽
