奧數(shù)：第04講 整數(shù)問(wèn)題第05講

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1、第04講整數(shù)問(wèn)題第05講不定方程與整數(shù)分拆例1甲級(jí)鉛筆7分錢(qián)一支，乙級(jí)鉛筆3分錢(qián)一支．張明用5角錢(qián)恰好可以買(mǎi)這兩種不同的鉛筆共多少支?答案10支或14支．分析本題給出了甲級(jí)鉛筆和乙級(jí)鉛筆的單價(jià)，問(wèn)題的關(guān)鍵是買(mǎi)這兩鐘鉛筆要恰好用完用來(lái)買(mǎi)這兩種鉛筆的總的錢(qián)數(shù)，即5角錢(qián)．題目要求的是鉛筆的總數(shù)，但我們并不能直接求出這個(gè)總數(shù)．于是要先求出甲乙兩種鉛筆分別買(mǎi)多少支，然后相加得出總支數(shù)．詳解設(shè)買(mǎi)甲級(jí)鉛筆x支，乙級(jí)鉛筆Y支．由題意7x+3y=50，知7x≤50；又因?yàn)閤為非負(fù)整數(shù)，所以x=0、1、2、3、4、5、6、7．但注意到y(tǒng)也應(yīng)為非負(fù)整數(shù)，將x的所有可能取值逐一

2、代人方程，可得兩組解：x=2、y=12，或x=5、y=5．由此可得所買(mǎi)鉛筆總數(shù)為2+12=14(支)，或5+5=10(支)．評(píng)注本題實(shí)際上是一個(gè)二元一次不定方程的問(wèn)題．題目要求的是鉛筆的總數(shù)．我們首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩種鉛筆分別買(mǎi)多少支，從而列出不定方程．對(duì)于不定方程的求解，本題也具有一般性，即我們首先確定出系數(shù)較大的那個(gè)未知數(shù)的取值范圍，再利用整除關(guān)系求出最終的解．例2有43位同學(xué)，他們身上帶的錢(qián)從8分到5角，錢(qián)數(shù)都各不相同，每個(gè)同學(xué)都把身上的全部錢(qián)各自買(mǎi)了畫(huà)片．畫(huà)片只有兩種：3分一張的和5分一張的．每人都盡可能地多買(mǎi)5分一張的畫(huà)片．問(wèn)他們能買(mǎi)的3分畫(huà)片

3、的總數(shù)是多少?gòu)?答案84張．分析本題要求的是這43位同學(xué)所買(mǎi)的3分畫(huà)片的總數(shù)．如果直接去求每個(gè)同學(xué)所買(mǎi)的3分畫(huà)片，然后相加無(wú)疑是相當(dāng)煩瑣的，所以要尋求其中的規(guī)律．注意到如果兩個(gè)同學(xué)身上的錢(qián)數(shù)相差5的倍數(shù),那么錢(qián)數(shù)較多的那個(gè)同學(xué)可以將多出的那部分錢(qián)全買(mǎi)成5分畫(huà)片，這樣這兩位同學(xué)最終所買(mǎi)的3分的畫(huà)片數(shù)是相同的．因此只要求出身上帶著8分、9分、10分、11分、12分這5位同學(xué)所買(mǎi)的3分畫(huà)片數(shù)，就可以知道其他同學(xué)所買(mǎi)的3分畫(huà)片數(shù)了，然后相加可以求出總數(shù)．詳解對(duì)于身上帶著8分、9分、10分、11分、12分的這5位同學(xué)，8=5+3，9=3+3+3，10=5+5，11

4、=5+3+3，12=3+3+3+3，即他們所買(mǎi)的3分畫(huà)片的數(shù)量分別為1張、3張、0張、2張、4張．將這43位同學(xué)按身上所帶的錢(qián)數(shù)由小到大每5個(gè)同學(xué)分為一組，共8組剩3位同學(xué)．這8組的每一組的5位同學(xué)所買(mǎi)的3分畫(huà)片的總數(shù)都是1+3+0+2+4=10(張)；而剩下的那3位同學(xué)身上所帶錢(qián)數(shù)分別為48分、49分、50分，他們所買(mǎi)的3分畫(huà)片數(shù)分別與身上帶8分、9分、10分的同學(xué)所買(mǎi)的畫(huà)片數(shù)相同，即1張、3張和0張．綜上所述，這43位同學(xué)共買(mǎi)了3分畫(huà)片的總數(shù)為10×8+1+3+0=84(張)．評(píng)注歸根結(jié)底，本題也是一道不定方程問(wèn)題．但是如果我們不根據(jù)題目的條件進(jìn)行仔

5、細(xì)分析，就很難找到解決問(wèn)題的竅門(mén)．而本題的關(guān)鍵條件是每位同學(xué)都盡可能多地去買(mǎi)5分畫(huà)片，我們正是從這一點(diǎn)入手解決問(wèn)題的．例3有三堆砝碼，第一堆中每個(gè)砝碼重3克，第二堆中每個(gè)砝碼重5克，第三堆中每個(gè)砝碼重7克．現(xiàn)在要取出最少個(gè)數(shù)的砝碼，使它們的總重量為130克，那么共需要多少個(gè)砝碼?其中3克、5克和7克的砝碼各有多少個(gè)?·答案20個(gè)．分析題目要求取出的砝碼總重量為130克，并且要取出最少個(gè)數(shù)的砝碼，而砝碼的單個(gè)重量有3克、5克和7克3種，直觀上我們要盡可能多地取7克的砝碼．詳解設(shè)取出的3克、5克和7克的砝碼分別為a個(gè)，b個(gè)和c個(gè)，由題意列出方程如下：因a、b

6、均非負(fù)，故7c≤130；再注意到c為整數(shù)，故c≤18．將c=18代入方程得3a+5b=4，無(wú)非負(fù)整數(shù)解．將c=17代入方程得3a+5b=11，解得a=2、b=1，于是a+b+c=2+1+17=20(個(gè))．將c=16和15分別代入方程可解得a=1、b=3和a=0、b=5．對(duì)于c=16，我們有a+b+c=1+3+16=20(個(gè))；對(duì)于c=15，我們有a＋b+c=0+5+15=20(個(gè))．當(dāng)c<15時(shí)，3a+5b+5c=130－2c>130－2×15=100，于是5(a+b+c)>100，即：a+b+c>20．綜上所述，共需砝碼20個(gè)，其中3克、5克和7克的砝

7、碼分別有2個(gè)、1個(gè)和17個(gè)，或1個(gè)、3個(gè)和16個(gè)，或0個(gè)、5個(gè)和15個(gè)．評(píng)注本題是一個(gè)三元一次不定方程問(wèn)題．列方程并沒(méi)有什么特別的困難，但是求解比二元一次不定方程要復(fù)雜．就本題而言，由于題目要求三個(gè)未知數(shù)之和盡可能小，這使我們可以將c的取值從小大到逐一代入方程驗(yàn)證，從而很快求出問(wèn)題的解．但值得注意的是，即便是這樣，題目的第二問(wèn)的答案仍不是惟一的．例4有紙幣60張，其中1分、1角、1元和10元各有若干張．問(wèn)這些紙幣的總面值能否恰好是100元?答案不能．分析本題條件告訴我們紙幣的張數(shù)為60張，而問(wèn)的是這些紙幣能否恰好是100元．我們自然想到設(shè)出每種紙幣的張數(shù)

8、，用方程來(lái)解決這一問(wèn)題．詳解設(shè)1分、1角、1元和10元紙幣分別有a張、b張、c張