反正切函數(shù)和反余切函數(shù).doc

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1、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)　一、素質(zhì)教育目標(一)知識教學點1．反正切、反余切函數(shù)的定義，圖象和性質(zhì)．2．反正切、反余切函數(shù)的運算．(二)能力訓練點1．理解反正切、反余切函數(shù)的定義，會根據(jù)圖象得到它們的性質(zhì)，進一步提高學生數(shù)形結(jié)合的能力．2．掌握反正切、反余切的三角運算以及正、余切函數(shù)的反正切、反余切運算，不斷提高學生綜合運用知識的能力．(三)德育滲透點通過反正切、反余切函數(shù)的學習，學生不難發(fā)現(xiàn)它們與反正弦、反余弦函數(shù)雖然不同，但研究的手法卻完全相同并且某些性質(zhì)很相似，為此教學過程要注意引導學生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，使學生懂得抓住事物的本質(zhì)特征才能把握事物的發(fā)展趨勢，不斷提高學生認識能力，自覺接受

2、辯證唯物主義認識論的觀點．二、教學重點、難點、疑點及解決辦法1．教學重點：反正切、反余切函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)．2．教學難點：反正切、反余切函數(shù)定義．3．教學疑點：反正切、反余切函數(shù)與反正弦、反余弦有許多相類似的地方，但不相同，教學過程要注意引導學生加以區(qū)別．三、課時安排建議2個課時．四、教與學過程設計　第一課時　(一)復習引入師：前面我們學過反正弦函數(shù)及反余弦函數(shù)，大家知道為了使兩個函數(shù)能得以建立，我們采取了控制自變量范圍的辦法使函數(shù)變?yōu)?對1家根據(jù)正、余切函數(shù)的特征，想一想應該分別控制x在哪些范圍內(nèi)進行研究較好？師：注意兩個區(qū)間均為開區(qū)間，與反正弦和反余弦時不同．(二)新課師：下面請

3、同學們思考怎樣給出反正切和反余切函數(shù)的定義(學生敘述，教師板書)．記作y=arctgx．余切函數(shù)y=ctgx(x∈(0，π))的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y=arcctgx．師：請同學們考慮反正切、反余切函數(shù)的定義域和值域是什么？余切函數(shù)的定義域是(-∞，+∞)，值域是(0，π)．師：我們依然要從三個方面來理解反正切、反余切的定義，對于xarcctgx∈(0，π)．3°對應于它們的正切值和余切值分別都是x．根據(jù)反正切、反余切函數(shù)的定義，即它們意義中的3°我們可得兩個基本關(guān)系式：tg(arctgx)=x，x∈(-∞，+∞)．ctg(arcctgx)=x，x∈(-∞，+∞)．例1　求下列各式

4、的值：師：請同學們根據(jù)反正切、反余切的意義來完成(請一位同學口答)．例2　求下列各式的值：師：根據(jù)該例題的解答，請同學們思考以下兩個式子成立的條件是什么？①arctg(tgx)=x，②arcctg(ctgx)=x．練習：求arctg[tg(-2)](請一位同學板演．)∴　arctg[tg(-2)]=arctg[tg(π-2)]=π-2．例3　求函數(shù)y=ctgx，x∈(-π，0)的反函數(shù)．解：∵　-π＜x＜0，∴　0＜π+x＜π．又∵　ctg(π+x)=ctgx=y，∴　π+x=arcctgy．即　x=-π+arcctgy．∴　原函數(shù)的反函數(shù)為：y=-π+arcctgx　x∈R．師：本題采

5、用轉(zhuǎn)化的手段將不在反余切函數(shù)值域范圍內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為其內(nèi)的角，使問題得以解決，大家要善于使用這種方法．師：本題是證角相等的問題，前面我們已經(jīng)接觸過，請同學們回憶這類問題如何解決？生：1°　證兩個角的某三角函數(shù)值相等．2°　證兩個角同屬于某三角函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間．3°　根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性斷定它們相等．師：本題的兩個未知角切在等號的一邊，該如何處理？師：根據(jù)所出現(xiàn)的反三角函數(shù)應選取哪種三角函數(shù)證明？生：正切或余切．師：請同學們根據(jù)剛才的討論自己完成證明(教師巡視，注意個別輔導)．(三)練習P．283中．練習1、3、4、5．(四)總結(jié)1．反正切、反余切的定義及含義(略)2．基本關(guān)系式：1°　t

6、g(arctgx)=x，x∈R；ctg(arcctgx)=x，x∈R．五、作業(yè)課本P．285-286習題十九9、10、12．六、板書設計　第二課時　一、教與學過程設計(一)復習師：前面我們已經(jīng)學習了反正弦、反余弦，反正切、反余切函數(shù)的定義，我們把這四個函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)．若用y=arc×x表示這些函數(shù)，請同學們說出它們的含義．生：1°　arc×x表示一個角，2°　這個角屬于它的值域，3°　這個角的同一名稱的三角函數(shù)值等于x．師：我們知道反三角函數(shù)中每一個函數(shù)都有兩個基本關(guān)系式，試按上面的約定把它們表示出來．生：1°×(arc×x)=x，　x屬于相應反函數(shù)的定義域．2°arc×(×x)=

7、x，　x屬于相應反函數(shù)的值域．(以上表述教師要加以指點．)(二)引入師：今天我們要繼續(xù)學習反正切、反余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們?nèi)匀粡膬蓚€函數(shù)原函數(shù)的圖象出發(fā)，利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系進行．(三)新課師：請同學們打開課本看P．281圖4-6，4-7．記住反正切、反余切函數(shù)圖象的位置和形狀(讓學生觀察一會兒后，請一位同學來畫草圖，教師注意糾正)．生：師：要想畫準它們的圖象(圖4-5，圖4-6)，虛線一定要畫，它們叫做漸近線．下