（浙江專版）2018年高考數(shù)學二輪專題復(fù)習 知能專練（十二）數(shù)學歸納法

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1、知能專練（十二）數(shù)學歸納法一、選擇題1．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是(　　)A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析：選A　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故選A.2．用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2)(n∈N*)時

2、，第一步需要證明(　　)A．1＜2－B．1＋＜2－C．1＋＋＜2－D．1＋＋＋＜2－解析：選C　第一步驗證n＝2時是否成立，即證明1＋＋＜2－.3．某個與正整數(shù)有關(guān)的命題：如果當n＝k(k∈N*)時命題成立，則可以推出當n＝k＋1時該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時命題不成立，那么可以推得(　　)A．當n＝4時命題不成立B．當n＝6時命題不成立C．當n＝4時命題成立D．當n＝6時命題成立解析：選A　因為當n＝k(k∈N*)時命題成立，則可以推出當n＝k＋1時該命題也成立，所以假設(shè)當n＝4時命題成立，那么n＝5時命題也成

3、立，這與已知矛盾，所以當n＝4時命題不成立．4．證明1＋＋＋＋…＋＞(n∈N*)，假設(shè)n＝k時成立，當n＝k＋1時，左端增加的項數(shù)是(　　)A．1項B．k－1項C．k項D．2k項解析：選D　當n＝k時，不等式左端為1＋＋＋＋…＋；當n＝k＋1時，不等式左端為1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋項，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k項．5．利用數(shù)學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”時，從“n＝k”變到“n＝k＋1”時，左邊應(yīng)增乘的因式是(　　)A．2k＋1B．2(

4、2k＋1)C.D.解析：選B　當n＝k(k∈N*)時，左式為(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；當n＝k＋1時，左式為(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，則左邊應(yīng)增乘的式子是＝2(2k＋1)．6．(2017·杭州模擬)對于不等式

5、程全都正確B．n＝1驗證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確解析：選D　n＝1的驗證及歸納假設(shè)都正確，但從n＝k(k∈N*)到n＝k＋1(k∈N*)的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而是通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學歸納法的證題要求．二、填空題7．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，當?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真．解析：n為正奇數(shù)，假設(shè)n＝2k－1成立后，需證明的應(yīng)為n＝2k＋1時成立．答案：2k＋18．用

6、數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上的項為________．解析：當n＝k時左端為1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，則當n＝k＋1時，左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的項為(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)29．用數(shù)學歸納法證明“2n>n2＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取________．解析：當n＝1時，2＝

7、2，不成立．當n＝2時，4<5，不成立．當n＝3時，8<10，不成立．當n＝4時，16<17，不成立．當n＝5時，32>26，成立．當n＝6時，64>37，成立．由此知n0應(yīng)取5.答案：5三、解答題10．(2017·安慶模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝a>2，an＝(n≥2，n∈N*)．(1)求證：對任意n∈N*，an>2；(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，并說明你的理由．解：(1)證明：用數(shù)學歸納法證明an>2(n∈N*)．①當n＝1時，a1＝a>2，結(jié)論成立；②假設(shè)n＝k(k≥1)時結(jié)論成立，即ak>2，則n＝

8、k＋1時，ak＋1＝>＝2，所以n＝k＋1時，結(jié)論成立．故由①②及數(shù)學歸納法原理，知對一切的n∈N*，都有an>2成立．(2){an}是單調(diào)遞減的數(shù)列．因為a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an>2，所以a－a<0，所以an＋1