高考數學二輪專題復習 知能專練（十二）數學歸納法

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1、知能專練（十二）數學歸納法一、選擇題1．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關系是(　　)A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析：選A　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故選A.2．用數學歸納法證明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2)

2、(n∈N*)時，第一步需要證明(　　)A．1＜2－B．1＋＜2－C．1＋＋＜2－D．1＋＋＋＜2－解析：選C　第一步驗證n＝2時是否成立，即證明1＋＋＜2－.3．某個與正整數有關的命題：如果當n＝k(k∈N*)時命題成立，則可以推出當n＝k＋1時該命題也成立．現已知n＝5時命題不成立，那么可以推得(　　)A．當n＝4時命題不成立B．當n＝6時命題不成立C．當n＝4時命題成立D．當n＝6時命題成立解析：選A　因為當n＝k(k∈N*)時命題成立，則可以推出當n＝k＋1時該命題也成立，所以假設當n＝4時命

3、題成立，那么n＝5時命題也成立，這與已知矛盾，所以當n＝4時命題不成立．4．證明1＋＋＋＋…＋＞(n∈N*)，假設n＝k時成立，當n＝k＋1時，左端增加的項數是(　　)A．1項B．k－1項非常感謝上級領導對我的信任，這次安排我向股份公司述職，既是對我履行職責的監(jiān)督，也是對我個人的關心和愛護，更是對**百聯東方商廈有限公司工作的高度重視和支持。C．k項D．2k項解析：選D　當n＝k時，不等式左端為1＋＋＋＋…＋；當n＝k＋1時，不等式左端為1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋項，共(2k＋1－1)－2k

4、＋1＝2k項．5．利用數學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”時，從“n＝k”變到“n＝k＋1”時，左邊應增乘的因式是(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：選B　當n＝k(k∈N*)時，左式為(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；當n＝k＋1時，左式為(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，則左邊應增乘的式子是＝2(2k＋1)．6．(2017·杭州模擬)對于不等式

5、，某學生的證明過程如下：(1)當n＝1時，<1＋1，不等式成立．(2)假設n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即

6、n為正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除”，當第二步假設n＝2k－1(k∈N*)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真．解析：n為正奇數，假設n＝2k－1成立后，需證明的應為n＝2k＋1時成立．答案：2k＋18．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上的項為________．非常感謝上級領導對我的信任，這次安排我向股份公司述職，既是對我履行職責的監(jiān)督，也是對我個人的關心和愛護，更是對**百聯東方商廈有限公司工作的高度重視和支持。解析：當n＝k時左

7、端為1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，則當n＝k＋1時，左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的項為(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)29．用數學歸納法證明“2n>n2＋1對于n≥n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取________．解析：當n＝1時，2＝2，不成立．當n＝2時，4<5，不成立．當n＝3時，8<10，不成立．當n＝4時，16<17，不成立．當n＝

8、5時，32>26，成立．當n＝6時，64>37，成立．由此知n0應取5.答案：5三、解答題10．(2017·安慶模擬)已知數列{an}滿足a1＝a>2，an＝(n≥2，n∈N*)．(1)求證：對任意n∈N*，an>2；(2)判斷數列{an}的單調性，并說明你的理由．解：(1)證明：用數學歸納法證明an>2(n∈N*)．①當n＝1時，a1＝a>2，結論成立；②假設n＝k(k≥1)時結論成立，即ak>2，則n＝k＋1時，ak＋1＝>＝2，所以n＝k＋1時，結論成立．故由①