浙江專版2018年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)知能專練十二數(shù)學(xué)歸納法

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1、知能專練（十二）數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題1．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是(　　)A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析：選A　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故選A.2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2)(n∈N*)時(shí)，第一步需

2、要證明(　　)A．1＜2－B．1＋＜2－C．1＋＋＜2－D．1＋＋＋＜2－解析：選C　第一步驗(yàn)證n＝2時(shí)是否成立，即證明1＋＋＜2－.3．某個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題：如果當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，則可以推出當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時(shí)命題不成立，那么可以推得(　　)A．當(dāng)n＝4時(shí)命題不成立B．當(dāng)n＝6時(shí)命題不成立C．當(dāng)n＝4時(shí)命題成立D．當(dāng)n＝6時(shí)命題成立解析：選A　因?yàn)楫?dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，則可以推出當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，所以假設(shè)當(dāng)n＝4時(shí)命題成立，那么n＝5時(shí)命題也成立，這與已知矛盾，所

3、以當(dāng)n＝4時(shí)命題不成立．4．證明1＋＋＋＋…＋＞(n∈N*)，假設(shè)n＝k時(shí)成立，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是(　　)A．1項(xiàng)B．k－1項(xiàng)-5-C．k項(xiàng)D．2k項(xiàng)解析：選D　當(dāng)n＝k時(shí)，不等式左端為1＋＋＋＋…＋；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式左端為1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋項(xiàng)，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k項(xiàng)．5．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”時(shí)，從“n＝k”變到“n＝k＋1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：

4、選B　當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，左式為(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左式為(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，則左邊應(yīng)增乘的式子是＝2(2k＋1)．6．(2017·杭州模擬)對于不等式

5、歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確解析：選D　n＝1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從n＝k(k∈N*)到n＝k＋1(k∈N*)的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而是通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求．二、填空題7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝________時(shí)，命題亦真．解析：n為正奇數(shù)，假設(shè)n＝2k－1成立后，需證明的應(yīng)為n＝2k＋1時(shí)成立．答案：2k＋18．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n

6、＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為________．-5-解析：當(dāng)n＝k時(shí)左端為1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的項(xiàng)為(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)29．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取________．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，2＝2，不成立．當(dāng)n＝2時(shí)，4<5，不成立．當(dāng)n＝3

7、時(shí)，8<10，不成立．當(dāng)n＝4時(shí)，16<17，不成立．當(dāng)n＝5時(shí)，32>26，成立．當(dāng)n＝6時(shí)，64>37，成立．由此知n0應(yīng)取5.答案：5三、解答題10．(2017·安慶模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝a>2，an＝(n≥2，n∈N*)．(1)求證：對任意n∈N*，an>2；(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，并說明你的理由．解：(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明an>2(n∈N*)．①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a>2，結(jié)論成立；②假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即ak>2，則n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝>＝2，所以n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．故

8、由①②及數(shù)學(xué)歸納法原理，知對一切的n∈N*，都有an>2成立．(2){an}是單調(diào)遞減的數(shù)列．因?yàn)閍－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an>2，所以a－a<0，所以an＋1