函數(shù)一致連續(xù)性的判定及應用論

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1、數(shù)學建模論文（設計）題目　函數(shù)一致連續(xù)性的判定及應用　學院專業(yè)年級學號姓名xx指導教師xx成績2007年4月19日函數(shù)一致連續(xù)性的判定及應用摘要：本文從函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的概念和關系出發(fā)，主要對一元函數(shù)在不同類型區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)的判定方法進行了討論，總結(jié)和應用，并且將部分判定一元函數(shù)一致連續(xù)的方法推廣到了多元函數(shù)，使大家對函數(shù)一致連續(xù)的內(nèi)涵有更全面的理解和認識。關鍵詞：函數(shù)；連續(xù)；一致連續(xù)函數(shù)DecisionsofuniformlycontinuousfunctionandapplicationTANGYongTheSchoolofMathma

2、ticsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715,ChinaAbstract:Fromtheconceptandtherelationofcontinuityanduniformlycontinuityofthefunction,weresearchthemethodsofdecisionsofuniformlycontinuousfunctionindifferentkindsofintervals.Moreover,weextendsomeoftheresultstofunctionw

3、ithmanyvariablesindifferentregion.Keywords:function;continuity;uniformlycontinuity1.引言我們知道，函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學分析課程中的一個重要內(nèi)容。函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，是指函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)，它反映函數(shù)在該區(qū)間上一點附近的局部性質(zhì)，但函數(shù)的一致連續(xù)性則反映的是函數(shù)在給定區(qū)間上的整體性質(zhì)，它有助于研究函數(shù)的變化趨勢及性質(zhì)。因此，本文對函數(shù)一致連續(xù)性的概念、判定條件進行了深入的分析和總結(jié)，目的是幫助大家掌握運用不同的方法證明函數(shù)一致連續(xù)，使大家對函數(shù)一致連續(xù)性的

4、內(nèi)涵有更全面的理解和認識?，F(xiàn)有的數(shù)學分析教材中，一般只給出函數(shù)一致連續(xù)的概念和判定函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的G.康托定理，內(nèi)容篇幅少，為了對函數(shù)一致連續(xù)性的理論有正確的理解和全面的掌握，作為教材內(nèi)容的適當擴展和補充，本文做了以下幾點討論：2.函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的關系2.1函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別2.1.1函數(shù)連續(xù)的局部性第24頁共23頁定義1函數(shù)在某內(nèi)有定義，則函數(shù)在點連續(xù)是指，，，使得當時，有。（2-1）那么，函數(shù)在點處連續(xù)，是否意味著在的鄰域內(nèi)連續(xù)呢？或者說其圖象在此鄰域上連綿不斷呢？回答是否定的。如函數(shù)只在連續(xù)；函數(shù)僅在兩點連續(xù)；又如函數(shù)（2

5、-2）容易證明這個函數(shù)在任意點是連續(xù)的，但是我們卻不能一筆畫出函數(shù)在的任意小鄰域內(nèi)的圖形。上述例子表明“連續(xù)”僅僅是一個局部概念，不能僅從字面去理解在連續(xù)。當且僅當在的鄰域內(nèi)每一點都連續(xù)，才能說在的鄰域內(nèi)連續(xù)。函數(shù)在點處連續(xù)的定義不能完全反映“連續(xù)”二字的本意，這確實是個遺憾，但是，如果在連續(xù)點的函數(shù)值，那么上述例外情形就不會發(fā)生了，有如下命題命題設在連續(xù)，且，則一定存在的某個鄰域，使在此鄰域內(nèi)連續(xù)。證明:因在點連續(xù)，即，都有。（2-3）現(xiàn)對，由（2-3）顯然有，（2-4）又，當充分小時，由局部保號性有，（2-5）第24頁共23頁即，從而有。（2

6、-6）可見在連續(xù)，由的任意性，知在的鄰域內(nèi)連續(xù)。因此，函數(shù)的連續(xù)性是一種按點而言的連續(xù)性，它僅僅反映了函數(shù)在區(qū)間上一點附近的局部性質(zhì)。2.1.2函數(shù)一致連續(xù)的整體性連續(xù)函數(shù)以它具有一系列良好的性質(zhì)而成為數(shù)學分析研究的主要對象，然而在連續(xù)函數(shù)中，又以一致連續(xù)的函數(shù)最為重要。因此，判定一個函數(shù)在其定義域內(nèi)是否一致連續(xù)，是數(shù)學分析的一個重要內(nèi)容之一。定義2設函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對，，，只要，就有，（2-7）則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。定義中的“一致”指的是什么呢？只要與函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義進行比較，不難發(fā)現(xiàn)，連續(xù)定義中的，不僅僅依賴于，還依賴于點在區(qū)

7、間中的位置，即；而在上一致連續(xù)是指，存在這樣的，它只與有關而與在區(qū)間中的位置無關，即。也就是說，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則對任意給定的正數(shù)，對于上的每一點，都能分別找到相應的正數(shù)，使得對上的任意一點，只要，就有，其中。對于同一個而言，當在上變動時，的大小一般也隨著改變，即依賴于。如圖1，在曲線比較平坦的部分所需的遠比在曲線比較陡峭的部分所需的大得多。如果的大小只與給定的有關，而與點在上的位置無關，那么這時就在上一致連續(xù)?？梢姟耙恢隆敝傅木褪谴嬖谶m合于上所有點的公共，即第24頁共23頁。直觀地說，在上一致連續(xù)意味著：不論兩點與在中處于什么位置，只要它

8、們的距離小于，就可以使。這里可能會產(chǎn)生這樣的疑問：既然對中每一個點都能找出相應的，那么取這些的最小者或者是下確界作為正數(shù)，不就能使其與點