資源描述：
《函數一致連續(xù)性的判定 數學畢業(yè)論文》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在學術論文-天天文庫。
1、目錄1摘要……………………………………………………12關鍵詞……………………………………………………13基本概念與定理…………………………………………14有限區(qū)間上一致連續(xù)函數的判定………………………15無限區(qū)間上一致連續(xù)函數的判定………………………46一致連續(xù)性的應用……………………………………87參考文獻………………………………………………108英文摘要…………………………………………………1011函數一致連續(xù)性的判定摘要：函數在區(qū)間I上的一致連續(xù)性與連續(xù)是兩個不同的概念,后者是一個局部性概念,前者
2、具有整體性質,它刻畫了函數f(x)在區(qū)間I上變化的相對均勻性.本文總結了幾個判別函數一致連續(xù)性的方法，并給出了幾個簡單應用.關鍵詞：函數、連續(xù)、一致連續(xù)、收斂引言函數的一致連續(xù)是數學分析中的一個重要概念.連續(xù)是考察函數在一個點的性質而一致連續(xù)是考察函數在一個區(qū)間的性質.一致連續(xù)比連續(xù)的條件要嚴格，在區(qū)間上一致連續(xù)的函數則一定連續(xù)，但連續(xù)的函數不一定一致連續(xù).因此本文總結了通過函數的連續(xù)性尋找一些函數一致連續(xù)的判別法.1．基本概念與定理定義（一致連續(xù)）：設函數在區(qū)間上有定義，若，當時，有，則稱函數在上一致
3、連續(xù).注：設函數在區(qū)間上有定義，若，當時，有，則稱函數在區(qū)間上不一致連續(xù).（定理）：若函數在區(qū)間連續(xù)，則在區(qū)間上一連續(xù).2.有限區(qū)間上一致連續(xù)函數的判定定理1函數在上一致連續(xù)的充要條件是函數在上連續(xù).定理2函數在上一致連續(xù)的充要條件是函數在上連續(xù)且，都存在.證明必要性，因為函數在上一致連續(xù)，即，且，有，顯然函數在上連續(xù)，且，當時，當然，有.根據柯西收斂準則，存在.同理可證，存在.11充分性,因為，都存在，分別設為和，構造函數：顯然在上連續(xù)，由定理1可知：在上一致連續(xù)，從而在上一致連續(xù).推論1函數在（）上
4、一致連續(xù)的充要條件是函數在（）上連續(xù)，且（）存在.推論2若函數在有限區(qū)間上連續(xù)、單調、有界、則函數在上一致連續(xù).定理3設在區(qū)間（是有限區(qū)間或無窮區(qū)間）連續(xù)，則在內閉一致連續(xù).即，在上一致連續(xù).結論的正確性有定理直接可得.用此條件能解決很多關于函數性質的證明題.其解題思路是把開區(qū)間上的問題轉化到閉區(qū)間上，從而利用定理.定理4若函數在及都一致連續(xù)，則在上一致連續(xù).注：改為時，結論也成立.證明已知函數在與一致連續(xù)，即：，且，有；，且，有.于是，有，，，且，當：1）且，有；2）且，有；3），且，（，）有11即函
5、數在上一致連續(xù).定理5函數在上一致連續(xù)的充要條件是任給中收斂數列，函數列也收斂.證明必要性，由于函數在上一致連續(xù)，故對于當，且時，有設是中任一收斂數列，由柯西條件對上述的時，，當時，有，故.所以，函數列也收斂.充分性，假設在上不一致連續(xù)，即，對（取），，且，而且有界，故存在收斂子列.由（），故中相應的子列也收斂，且與極限相同，因此數列也收斂于相同極限，于是數列也收斂.故當足夠大時，與上述矛盾，假設不成立.即函數在上一致連續(xù).定理6函數在上一致連續(xù)的充要條件是任給，時,.證明必要性設函數在上一致連續(xù)，則，
6、，當且時，.所以.當，時.充分性設，當時，11則,，使得當時有.所以函數在上一致連續(xù).注：此命題提供了一個直觀觀察一致連續(xù)的辦法：在圖象上最陡的地方，若，則，一致連續(xù)；若在某處無限變陡，則非一致連續(xù).3.無限區(qū)間上一致連續(xù)函數的判定定理7若函數在（）上連續(xù)且，（，）都存在，則函數在（）上一致連續(xù).證明已知存在，根據柯西收斂準則，有，，，有；又已知函數在閉區(qū)間連續(xù)，則函數在上一致連續(xù)，即對上述的，，（使），且，有.于是，且（使），有即函數在上一致連續(xù).推論3若函數在（）上連續(xù)，且（）存在，則函數在（）上一
7、致連續(xù).推論4若函數在上連續(xù)且，都存在，則函數在上一致連續(xù).定理8定義在上的連續(xù)函數，若當時，有水平漸近線，則在上一致連續(xù).證明由于有水平漸近線知：存在，根據柯西收斂準則：11，，當時，有.因在上連續(xù)，所以在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，對如上的，，當且時，有現,只要,若.則.若,則.若分別屬于與,則,,故綜上所述，在上一致連續(xù).注：此定理的結論可推廣到無窮區(qū)間或上.定理9定義在上的線性函數必在內一致連續(xù).證明，，要使，只要，取，當時，有故在內一致連續(xù).定理10設在上連續(xù)，若當時，以直線為斜漸近線，則在上一
8、致連續(xù).證明設，則由已知可得：在上連續(xù).因以直線為斜漸近線，所以即由定理8可知:在上一致連續(xù).又由定理9知：在上一致連續(xù).故在上一致連續(xù).11注：此定理的結論也可推廣到無窮區(qū)間或上.推論5若函數在上連續(xù)且曲線：存在不垂直于軸的漸近線，則函數在上一致連續(xù).定理11若函數在區(qū)間（可開，可半開，可有限或無限）可導，且在有界，則函數在上一致連續(xù).證明設，（），，，當時，根據微分中值定理，存在點介于與之間，使得：即在上一致連續(xù).定理12若函數與在區(qū)間
