多元函數(shù)微分學(xué)(20)

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1、第八章多元函數(shù)微分法一、基本內(nèi)容（一）元函數(shù)的基本概念1．基本概念（1）鄰域（2）內(nèi)點(diǎn)（3）邊界點(diǎn)（4）開(kāi)集（5）區(qū)域2．二元函數(shù)的極限與連續(xù)（二）偏導(dǎo)數(shù)和全微分1．偏導(dǎo)數(shù)2．全微分3．全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用（三）復(fù)合函數(shù)的微分法1．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2．一階微分形式不變性（四）隱函數(shù)的微分法1．一個(gè)方程的情形2，方程組情形（五）微分法在幾何上的應(yīng)用1．空間曲線的切線與法平面2．曲面的切平面與法線3．微分的幾何意義（六）方向?qū)?shù)和梯度1．方向?qū)?shù)2．梯度（七）多元函數(shù)的極值1．多元函數(shù)的極值2．條件極值練習(xí)題8.1.確定下列函數(shù)的定義域(1)(2)(3)(

2、4)解答：(1)得（2），時(shí)有定義.即時(shí)時(shí)包含錐面在內(nèi)的圓錐（3）得，即上半平面（4）得旋轉(zhuǎn)拋物面的內(nèi)部（不含表面）o8.2.設(shè)函數(shù),求解答：8.3.設(shè)求，解答：8.4.設(shè),求解答：8.5.設(shè)試討論在點(diǎn)的連續(xù)性，可微性。解答：（1）（）（2）不存在綜上（1），（2）在點(diǎn)連續(xù)，但不可微8.6.求下列二重極限(1)(2)(3)(4)解答：（1）（2）（3）此極限隨K改變而改變，因此極限不存在。（4）8.7求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分（1），，解答：（2），解答：,8.8求下列方程所確定函數(shù)的全微分（1）（2）解答：(1)令則，，(2)令則8.9函數(shù)由方程所確

3、定，求。解答：方程兩端同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)，得則8.10設(shè),求。解答：由確定了兩個(gè)函數(shù)方程組*對(duì)求導(dǎo)得解得8.11設(shè)函數(shù)由方程確定。證明。證明：方程兩側(cè)分別同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)得故得證8.12設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。解答：8.13設(shè)求。解答：確定二個(gè)函數(shù)上二等式兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)由法則8.14方程組確定了隱函數(shù)，當(dāng)，，時(shí)，求解答：方程組對(duì)x求導(dǎo)得將代入上式得又8.15求曲面上平行于平面的切平面方程。解答：設(shè)滿足條件所求切平面與曲面的切點(diǎn)為則①又則②由①②解得故所求切平面方程為：或化簡(jiǎn)8.16證明曲面和在點(diǎn)處相切。（即有公共切面）。解答：在點(diǎn)的切平面的法向量8.17設(shè)具有連續(xù)

4、的偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)有(是自然數(shù))，試證：曲面上任意一點(diǎn)的切平面相交于一定點(diǎn)。（設(shè)在任意點(diǎn)處）。證明：由令兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)令為曲面上任一點(diǎn)，則且=曲面在點(diǎn)的切平面為整理得即此平面必過(guò)原點(diǎn)（0，0，0），故得證。8.18求空間曲線，在點(diǎn)處的切線和法平面方程。解答：設(shè)，于是，它們?cè)邳c(diǎn)的值為由得曲線在（1，1，1）的切線方程。即曲線在（1，1，1）的法平面方程為即8.19求函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)。解答：8.20求函數(shù)在點(diǎn)沿此點(diǎn)向徑方向的方向?qū)?shù)。解答：==8.21求函數(shù)在處與軸的正向成135°角的方向的方向?qū)?shù)。解答：在M(1,2)處的值　　　　　　　8.22

5、求函數(shù)的極值。解答：求得穩(wěn)定點(diǎn)在點(diǎn)(1,2)處不是極值點(diǎn)在點(diǎn)(2,1)處極小值在點(diǎn)(-1,-2)處不是極值點(diǎn)在點(diǎn)(-2,-1)處是極大值點(diǎn)z極小(2,1)=-28,z極大(-2,-1)=288.23求函數(shù)在的條件下的極值。解答：令則得因?yàn)樗詷O值8.24求函數(shù)在條件下的極值。解答：設(shè)則解得且等號(hào)只在時(shí)才成立,故是極大值.測(cè)驗(yàn)題(八—1)一、求下列函數(shù)的定義域（1）u=arcsin(2)z=解：(2)，二、求下列二重極限(1)(2)解：(1)(2)三、證明不存在證明：此極限值隨的改變而不同，故得證.四、求下列函數(shù)的指定的偏導(dǎo)數(shù)或全微分1、設(shè)u=，其中具有=階

6、偏導(dǎo)數(shù)，g為可導(dǎo)函數(shù)。求和解：1、設(shè)方程確定了隱函數(shù)求解：等式兩端同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)則2、設(shè)而由方程組確定求解：方程組確定了一組函數(shù)方程組對(duì)x求導(dǎo)則3、設(shè)，（），求解：五、求函數(shù)在點(diǎn)是否可微？為什么？解：六、求在點(diǎn)沿曲線在該點(diǎn)法線（指向原點(diǎn)）方向的方向?qū)?shù)。解：,曲線在點(diǎn)切線斜率為法線斜率為由法線指向原點(diǎn)方向得，故七、證明錐面的所有切平面都通過(guò)錐面的頂點(diǎn)解：設(shè)錐面在點(diǎn)的切平面為又因?yàn)闈M足此平面恒過(guò)點(diǎn)八、求在閉域上的最大值與最小值。解：首先考慮函數(shù)在區(qū)域上的穩(wěn)定點(diǎn)求得唯一穩(wěn)定點(diǎn)（1，2），且再考慮函數(shù)在邊界上的情況在邊界上，此時(shí)，又,在邊界上，此時(shí)又在邊界上，此

7、時(shí)經(jīng)比較,測(cè)驗(yàn)題（八—2）一、確定的定義域，并證明此函數(shù)在其定義域上是連續(xù)的。解：==當(dāng)故此函數(shù)在定義域上是連續(xù)的.二、1.設(shè)其中可微，有偏導(dǎo)數(shù)，求解：2.設(shè)其中可微，此方程確定一函數(shù),求。解：等式分別對(duì)x,y求導(dǎo)得,3．設(shè)有連續(xù)二階偏導(dǎo)，二階可導(dǎo)求解三、設(shè)確定了隱函數(shù)當(dāng)時(shí)，求解：方程組對(duì)x求導(dǎo)解得則當(dāng)時(shí)，有四、在曲線上求一點(diǎn)，使曲線在此點(diǎn)處的切線平行于平面解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切向量為平面的法向量為由曲線平行于平面得故從而故即為所求點(diǎn)。五、在曲面上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)的法線垂直于平面,并求此法線方程.解：設(shè)曲面上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的法向量為平面的法向量為由法線垂直于

8、平面得故曲面上點(diǎn)的法線垂直于平面且法線方程為（x+3）+3（y+1