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《多元函數(shù)微分學》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、§8．6微分法在幾何中的應用一．空間曲線的切線與法平面二．曲面的切平面與法線曲線的切向量、法平面曲面的切平面、曲面的法線、曲面的法向量一．空間曲線的切線與法平面設空間曲線?的參數(shù)方程為x??(t)，y?y(t)，z?w(t)這里假定?(t)，y(t)，w(t)都可導．考慮當M??M，即?t?0時．，，xyzOMM??其方程為過曲線?上t?t0和t?t0??t對應的點M和M?，作曲線的割線MM?，一．空間曲線的切線與法平面設空間曲線?的參數(shù)方程為x??(t)，y?y(t)，z?w(t)這里假定?(t)，y(t)，w(t)都可導．
2、xyzOMM?過曲線?上t?t0和t?t0??t對應的點M和M?，作曲線的割線MM?，考慮當M??M，即?t?0時．，，其方程為一．空間曲線的切線與法平面設空間曲線?的參數(shù)方程為x??(t)，y?y(t)，z?w(t)這里假定?(t)，y(t)，w(t)都可導．xyzOMM?過曲線?上t?t0和t?t0??t對應的點M和M?，作曲線的割線MM?，考慮當M??M，即?t?0時．，，其方程為一．空間曲線的切線與法平面設空間曲線?的參數(shù)方程為x??(t)，y?y(t)，z?w(t)這里假定?(t)，y(t)，w(t)都可導．xyzO
3、MM?過曲線?上t?t0和t?t0??t對應的點M和M?，作曲線的割線MM?，考慮當M??M，即?t?0時．，，其方程為一．空間曲線的切線與法平面設空間曲線?的參數(shù)方程為x??(t)，y?y(t)，z?w(t)這里假定?(t)，y(t)，w(t)都可導．xyzOM．得曲線在點M處的切線方程為過曲線?上t?t0和t?t0??t對應的點M和M?，作曲線的割線MM?，考慮當M??M，即?t?0時．，，其方程為就是曲線?在點M處的一個切向量．曲線的切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量．向量通過點M而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M處
4、的法平面，法平面：xyzOM法平面方程為j?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?w?(t0)(z?z0)?0．解因為xt??1，yt??2t，zt??3t2，而點(1，1，1)所對應的參數(shù)t?1，所以例1求曲線x?t，y?t2，z?t3在點(1，1，1)處的切線及法平面方程．于是，切線方程為法平面方程為(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0，即x?2y?3z?6．．提示:曲線的參數(shù)方程為：x?x，y?j(x)，z?y(x))切向量為討論：1．若曲線的方程為y?j(x)，z?y(x)．問其切線和法平面方程是什么形
5、式??{1，j?(x0)，y?(x0)}．2．若曲線的方程為F(x，y，z)?0，G(x，y，z)?0．問其切線和法平面方程又是什么形式?提示:兩個方程確定了兩個隱函數(shù)：y?j(x)，z?y(x)，切向量為?{1，，}．例2求曲線x2?y2?z2?6，x?y?z?0在點(1，?2，1)處的切線及法平面方程．解為求切向量將所給方程的兩邊對x求導數(shù)，得解得，．??1．?0，所求切線方程為法平面方程為(x?1)?0·(y?2)?(z?1)?0，即x?z?0．．二．曲面的切平面與法線設曲面?：F(x，y，z)?0，M(x0，y0，z0
6、)是?上的一點．考慮F[?(t)，y(t)，w(t)]=0兩邊在t?t0的全導數(shù)：Fx(x0，y0，z0)j?(t0)?Fy(x0，y0，z0)y?(t0)?Fz(x0，y0，z0)w?(t0)?0．可見向量xyzO?M?在?上，通過點M任意引一條曲線?，其參數(shù)方程式為x??(t)，y?y(t)，z?w(t)；x0??(t0)，y0?y(t0)，z0?w(t0)．二．曲面的切平面與法線設曲面?：F(x，y，z)?0，M(x0，y0，z0)是?上的一點．考慮F(x，y，z)=0兩邊在t?t0的全導數(shù)：Fx(x0，y0，z0)j?
7、(t0)?Fy(x0，y0，z0)y?(t0)?Fz(x0，y0，z0)w?(t0)?0．可見向量xyzO?M?在?上，通過點M任意引一條曲線?，其參數(shù)方程式為x??(t)，y?y(t)，z?w(t)；x0??(t0)，y0?y(t0)，z0?w(t0)．二．曲面的切平面與法線設曲面?：F(x，y，z)?0，M(x0，y0，z0)是?上的一點．考慮F(x，y，z)=0兩邊在t?t0的全導數(shù)：Fx(x0，y0，z0)j?(t0)?Fy(x0，y0，z0)y?(t0)?Fz(x0，y0，z0)w?(t0)?0．可見向量xyzO?M
8、?在?上，通過點M任意引一條曲線?，其參數(shù)方程式為x??(t)，y?y(t)，z?w(t)；x0??(t0)，y0?y(t0)，z0?w(t0)．曲面?上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上．這個平面稱為曲面?在點M的切平面．這切平面的方程式是Fx(x0，y0，z0
