函數(shù)極限與最大值最小值

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1、第五節(jié)函數(shù)極限與最大值最小值在討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，曾遇到這樣的情形，函數(shù)先是單調(diào)增加（或減少），到達(dá)某一點(diǎn)后又變?yōu)閱握{(diào)減少（或增加），這一類點(diǎn)實(shí)際上就是使函數(shù)單調(diào)性發(fā)生變化的分界點(diǎn).如在上節(jié)例3的圖3-4-5中，點(diǎn)和就是具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)，易見，對(duì)的某個(gè)鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，恒有，即曲線在點(diǎn)處達(dá)到“峰頂”；同樣，對(duì)的某個(gè)鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，恒有，即曲線在點(diǎn)處達(dá)到“谷底”.具有這種性質(zhì)的點(diǎn)在實(shí)際應(yīng)用中有著重要的意義.由此我們引要入函數(shù)極值的概念.分布圖示★函數(shù)極值的定義★函數(shù)極值的求法★例1★例2★例3★第二充分條件★例4★例5★例6★最大值最小值的求法★例7★例8★例9

2、★例10★例11★例12★例13★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題3-5★返回內(nèi)容要點(diǎn)一、極值的概念二、極值的必要條件三、第一充分條件與第二充分條件四、求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù);（2）解方程求出的全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn);（3）討論在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左、右兩側(cè)鄰近符號(hào)變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn);（4）求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值.五、求函數(shù)的最大值與最小值在實(shí)際應(yīng)用中，常常會(huì)遇到求最大值和最小值的問題.如用料最省、容量最大、花錢最少、效率最高、利潤最大等.此類問題在數(shù)學(xué)上往往可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值

3、或最小值問題.求函數(shù)在上的最大（小）值的步驟如下：（1）計(jì)算函數(shù)在一切可能極值點(diǎn)的函數(shù)值，并將它們與相比較，這些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2）對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)可能的極值點(diǎn)，并且函數(shù)在該點(diǎn)確有極值，則這點(diǎn)就是函數(shù)在所給區(qū)間上的最大值（或最小值）點(diǎn).例題選講求函數(shù)的極值例1(E01)求出函數(shù)的極值.解,令得駐點(diǎn)列表討論如下：＋0－0＋↑極大值↓極小值↑所以,極大值極小值例2(E02)求函數(shù)的極值.解函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，除外處處可導(dǎo)，且令得駐點(diǎn)為的不可導(dǎo)點(diǎn);列表討論如下:＋不存在－0＋↑極大值↓極小值↑極大值為極小值為例3

4、求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間和極值.解求導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)而時(shí)不存在,因此，函數(shù)只可能在這兩點(diǎn)取得極值.列表如下:＋不存在－0＋↗極大值0↘極小值↗由上表可見：函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加,在區(qū)間單調(diào)減少.在點(diǎn)處有極大值,在點(diǎn)處有極小值如圖.例4(E03)求出函數(shù)的極值.解令得駐點(diǎn)又故極大值故極小值注意：時(shí),在點(diǎn)處不一定取極值,仍用第一充分條件進(jìn)行判斷.函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).例5(E04)求函數(shù)的極值.解由得駐點(diǎn)因故在處取得極小值，極小值為因故用定理3無法判別.考察一階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)及左右鄰近的符號(hào):當(dāng)取左側(cè)鄰近的值時(shí),當(dāng)取右側(cè)鄰近的值時(shí),因的符號(hào)沒有改變，故在處沒有極值.

5、同理，在處也沒有極值.如圖所示.例6求出函數(shù)的極值.解是函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn).當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),為的極大值.例7(E05)求的在上的最大值與最小值.解解方程得計(jì)算比較得最大值最小值例8求函數(shù)在上的最大值及最小值.解函數(shù)在上連續(xù),令得故在上最大值為最小值為例9(E06)設(shè)工廠A到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,如圖3-5-4.現(xiàn)在要在鐵路BC中間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每km的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省?解(km)

6、,(km),鐵路每公里運(yùn)費(fèi)公路每公里記那里目標(biāo)函數(shù)(總運(yùn)費(fèi))的函數(shù)關(guān)系式:即問題歸結(jié)為：取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)最小.求導(dǎo)得令得(km).由于從而當(dāng)(km)時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省.例10某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月180元時(shí),公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)租金每月增加10元時(shí),就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi).試問房租定為多少可獲得最大收入?解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為解得(唯一駐點(diǎn)).故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為(元).求函數(shù)的最大值最小值例11求內(nèi)接于橢圓而面積最大的矩形的各邊之長.解設(shè)為橢圓

7、上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，則以點(diǎn)為一頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形的面積為且由求得駐點(diǎn)為唯一的極值可疑點(diǎn).依題意,存在最大值,故是的最大值,最大值對(duì)應(yīng)的值為即當(dāng)矩形的邊長分別為時(shí)面積最大.例12由直線及拋物線圍成一個(gè)曲邊三角形,在曲邊上求一點(diǎn),使曲線在該點(diǎn)處的切線與直線及所圍成三角形面積最大.解根據(jù)幾何分析,所求三角形面積為由解得(舍去).為極大值.故三角形為所有中面積的最大者.例13求數(shù)列的最大項(xiàng)(已知).解令則由得唯一駐點(diǎn)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),時(shí),函數(shù)取得極大值,由于又因此當(dāng)時(shí),得數(shù)列的最大項(xiàng)課堂練習(xí)1.下列命題正確嗎?若為的極小值點(diǎn),則必存在的某領(lǐng)域,在此領(lǐng)域內(nèi),在的左側(cè)

8、下降,而在的右側(cè)上升.2.若是在[a,b]上的最大值