判斷函數(shù)的單調(diào)性y

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1、判斷函數(shù)的單調(diào)性y=1/x的平方-2x-3設(shè)x^2-2x-3=t令x^2-2x-3=0x=3或x=-1當(dāng)x>3和x<-1時(shí)，t>0當(dāng)-10時(shí)，x>3時(shí)，t是增函數(shù)，1/t是減函數(shù)，所以（3，正無窮）是減區(qū)間而x<-1時(shí)，t是減函數(shù)，所以1/t是增函數(shù)，因此（負(fù)無窮，-1）是增區(qū)間當(dāng)x<0時(shí)，-1

2、，3）是減區(qū)間綜上，得到增區(qū)間是（負(fù)無窮，-1）和（-1，1）是增區(qū)間（1，3）和（3，正無窮）是減區(qū)間例1.已知，求的值。解：已知條件可化為設(shè)，則而在R上是增函數(shù)則有，即所以點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，利用單調(diào)性求解。拓展練習(xí)：已知方程的根為α，方程的根為β，求α+β的值。（答案：）二.妙解方程例2.解方程解：易見x=2是方程的一個(gè)解原方程可化為而（因?yàn)椋┰赗上是減函數(shù)，同樣在R上是減函數(shù)因此在R上是減函數(shù)由此知：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這說明與的數(shù)都不是方程的解，從而原方程僅有唯一解。拓展訓(xùn)練：解

3、方程。（答：）點(diǎn)評(píng)：解該類型題有兩大步驟：首先通過觀察找出其特解，然后等價(jià)轉(zhuǎn)化為的形式，最后根據(jù)的單調(diào)性得出原方程的解的結(jié)論。三.妙求函數(shù)的值域例3.求函數(shù)的值域。解：令，則因?yàn)?，所以而在?nèi)遞增所以又而所以為所求原函數(shù)的值域。四.巧解不等式例4.解不等式解：設(shè)原不等式可化為則，即設(shè)顯然是R上的減函數(shù)，且，那么不等式即因此有，解得點(diǎn)評(píng)：解不等式其實(shí)質(zhì)是研究相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，正負(fù)值問題。用函數(shù)觀點(diǎn)來處理此類問題，不僅可優(yōu)化解題過程，且能讓我們迅速獲得解題途徑。拓展訓(xùn)練：解不等式。（答：）五.巧證不等式例5.設(shè)，求

4、證。證明：當(dāng)m，n中至少有一個(gè)為0時(shí)，則有，結(jié)論成立。設(shè)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以與必同號(hào)，或同為0（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)）從而因此，原不等式成立（當(dāng)且僅當(dāng)或，或時(shí)取“=”號(hào)）。點(diǎn)評(píng)：原不等式等價(jià)于，這可由冪函數(shù)在上遞增而得到。本題可拓展：令，則。六.巧解恒成立問題例6.已知函數(shù)對(duì)區(qū)間上的一切x值恒有意義，求a的取值范圍。解：依題意，對(duì)上任意x的值恒成立整理為對(duì)上任意x的值恒成立。設(shè)，只需而在上是增函數(shù)則所以1989年高考）已知，如果，那么（）A.在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)B.在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)C.在區(qū)間（-2，

5、0）上是增函數(shù)D.在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)解：函數(shù)是由和復(fù)合而成的。又在上遞減，在上遞增；上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，得或由此可得，函數(shù)在或時(shí)為減函數(shù)函數(shù)在或時(shí)，為增函數(shù)故選（A）解題回顧：本題是有關(guān)二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)確定單調(diào)區(qū)間問題，要求會(huì)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來研究簡單復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的問題。復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定法則是，若與同是增（減）函數(shù)，則在其定義域上是增函數(shù)；若是一增一減函數(shù)，則在其定義域上是減函數(shù)。上述法則可簡述為：同增異減。二.利用函數(shù)的圖象求解例2.指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：作出函

6、數(shù)的圖象。根據(jù)圖象可得，函數(shù)在以及上為增函數(shù)；在以及上為減函數(shù)圖1三.利用函數(shù)單調(diào)性的定義例3.求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間。解：任取，則因?yàn)樗匀艉瘮?shù)為增函數(shù)，則所以因?yàn)樗?，故同理，若為減函數(shù)，則因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)解題回顧：從定義出發(fā)，利用定義解題是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)。本題從函數(shù)單調(diào)性的定義出發(fā)，把求字母a的取值范圍的問題，轉(zhuǎn)化為恒成立的問題來加以求解，同時(shí)得出了很重要的分式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。利用此結(jié)論，我們可以研究此類分式函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值問題。