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《有理函數(shù)積分法(1)》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關內(nèi)容在應用文檔-天天文庫。
1、三.有理函數(shù)積分法例1..∴I=.類型∴.(*)例2.)=.例3.=.例4..類型對,分解為與的線性組合.對后者,配方后用(*).一般地,對(P,Q為多項式),按下列步驟積分:例第一步為假分式時用除法分解為多項式與真分式之和;第二步在實數(shù)域內(nèi)把分母分解為質(zhì)(x-2)(x2+1)2因式之積.設為a(x-l)k…(x2+bx+c)l…;第三步用待定系數(shù)法把第一步得到的真分式分解為部分分式.第二步中的因=式(x-l)k對應的部分分式為2x2+2x+13=a(x2+1)2+(bx+c)(x-2)(x2++…+,因式(x2+1)+(dx+e)(x-2).(**)6+bx+c)l對應的部分分式為a+
2、b=0,-2b+c=0,2a+b-2c+d=0,++…+-2b+c-2d+e=0,a-2c-2e=13.6第四步對部分分式積分:解得a=1,b=-1,c=-2,d=-3,e=-4.=.對,已見上..注解方程組確定a,b,c,d,e時,可在(**)中令x=2得到a=1.在下面分解部分分式的練習中,也可如此做.△.△.△△.△.△△.在一些特殊情形,無需死板地用待定系數(shù)法分解部分分式:△△.例如.△,或.四.被積函數(shù)可有理化的積分R(sinx,cosx)dx;.R(tanx)dxR(t);R(sin2x,cos2x).若R(sinx,cosx)滿足R(-sinx,cosx)=-R(sinx,
3、cosx),即關于sinx為奇函數(shù),則關于sinx為偶函數(shù),可表示為sin2x,cosx的有理函數(shù).因此R(sinx,cosx)dx=sinxdx=R1(sin2x,cosx)d(-cosx)可以用代換cosx=t化為有理函數(shù)的積分.類似地,若R(sinx,cosx)滿足R(sinx,-cos6x)=-R(sinx,cosx),則可用代換sinx=t.若滿足R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx),則R(tanxcosx,cosx)關于cosx為偶函數(shù),R(sinx,cosx)=R(tanxcosx,cosx)=R1(tanx,cos2x)=R2(tant),可用代換tan
4、x=t.△其中t=tan.△.△法二判斷代換:△(tanx=t)△(tanx=t)△(cosx=t)△(sinx=t)△(tanx=t)△()R(x,):x=asinq或acosq;R(x,):x=atanq;R(x,):x=;R(x,):=t(=);R():.△=6(arctant-?ln
5、1+t2
6、+ln
7、t
8、-t)+C,其中.△-2arctant+C,其中t=….按有理化的思想,對R(x,),也可設=tmx有理化,因為=t-x時R(x,)dx=R(,))dt.一般地,對R(x,)有下列*Eular代換:1°a>0時設=tmx,此時x=,=.類似地,c>0時可設=tx-.2°a<0時
9、由ax2+bx+c≥0可知ax2+bx+c有實根.設==t(x-a),則,=.*I=.令=t-x,則x=,dx=,6I==+C,其中t=x+.或:令=tx-1,得,I=-2=,其中.*其它代換舉例:△;△(x=acos2q+bsin2q,x-a=(b-a)sin2q,b-x=(b-a)cos2q)=.注以上兩題用前面所說的代換,是和=t(x-a).△.雜題(口答方法)△.△△.△.△.△△.△.△(分部).△(代換ex=t).△x2-x)sin2xdx(分部).△.△(分部,或代換x=sint后再分部).△或或(=-2+C)或代換sinx=t.△或或.△或或.6△.*△或分部.*△.6