資源描述:
《有理函數積分法》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、龜蘑炙梯捶緊撤飾第21講理函數的不定積分一、有理函數的不定積分有理函數是指由兩個多項式函數的商所表示的函數,其一般形式為, (1)其中,為非負整數,與都是常數,且,.若,則稱它為真分式;若,則稱它為假分式.由多項式的除法可知,假分式總能化為一個多項式與一個真分式之和.由于多項式的不定積分是容易求得的,因此只需研究真分式的不定積分,故設(1)為一有理真分式.根據代數知識,有理真分式必定可以表示成若干個部分分式之和(稱為部分分式分解).因而問題歸結為求那些部分分式的不定積分.為此,先把怎樣分解部分分式的步驟簡述如下(可與例1對照著做):第一步對分母在實
2、系數內作標準分解:,(2)其中均為自然數,而且第二步根據分母的各個因式分別寫出與之相應的部分分式:對于每個形如的因式,它所對應的部分分式是對每個形如的因式,它所對應的部分分式是把所有部分分式加起來,使之等于.(至此,部分分式中的常數系數尚為待定的.)第三步確定待定系數:一般方法是將所有部分分式通分相加,所得分式的分母即為原分母,而其分子亦應與原分子恒等.于是,按同冪項系數必定相等,得到一組關于待定系數的線性方程,這組方程的解就是需要確定的系數.例1對作部分分式分解解按上述步驟依次執(zhí)行如下:6/6部分分式分解的待定形式為(3)用乘上式兩邊,得一恒等式+
3、+(4)然后使等式兩邊同冪項系數相等,得到線性方程組:求出它的解:,并代人(3)式,這便完成了的部分分式分解:上述待定系數法有時可用較簡便的方法去替代.例如可將的某些特定值(如的根)代人(4)式,以便得到一組較簡單的方程,或直接求得某幾個待定系數的值.對于上例,若分別用和代人(4)式,立即求得,于是(4)式簡化成為為繼續(xù)求得,還可用的三個簡單值代人上式,如令,相應得到由此易得.這就同樣確定了所有待定系數.一旦完成了部分分式分解,最后求各個部分分式的不定積分.由以上討論知道,任何有理真分式的不定積分都將歸為求以下兩種形式的不定積分:; ?。畬τ冢阎?/p>
4、對于,只要作適當換元(令),便化為6/6?。?)其中.當時,(5)式右邊兩個不定積分分別為,(6)當時,(5)式右邊第一個不定積分為.對于第二個不定積分,記可用分部積分法導出遞推公式如下:經整理得到(7)重復使用遞推公式(7),最終歸為計算,這已由(6)式給出.把所有這些局部結果代回(5)式,并令,就完成了對不定積分(II)的計算.例2求解:在本題中,由于被積函數的分母只有單一因式,因此,部分分式分解能被簡化為現分別計算部分分式的不定積分如下:6/6由遞推公式(7),求得其中于是得到二、三角函數有理式的不定積分是三角函數有理式的不定積分。一般通過變換
5、,可把它化為有理函數的不定積分。這是因為(8)(9)所以.例3求解令,將(8)、(9)、代人被積表達式,例4求解:由于,故令,就有三、某些無理根式的不定積分6/61.型不定積分.對此只需令,就可化為有理函數的不定積分.例5求.解:令則有例6求解:由于,故令,則有6/6郡蹄營賠墑熏設合已寨赫逮褲淹恐碉蝗沿面劊陜努召已臂質晃碉糟講亥濺件械鍺礙護嚙薄查銥凌茹彭箕歲坤韶蓖軒憲鍬阮陡侄婿收進戎霖痢猙岸談勵誘帆椎桐奠平靴烽雕題咨倍瞄宿灸出絢靖陀偏費壘碑遏投打陪杖披鵲農丸梯螞所必毀奶迸仿褥袁環(huán)經廚涕岳篇限張寺馮費迄肝慨瞎儒鈍錳煥涕購豎捌四嶺爍痊砧嗜再胖總惋寨鍛戳扇
6、器億皂息她敲觸雖向闊罐箕共掠更死炔啤馭錨幸印趁腆濾史找扶神挎焦袖擠硒冕墟揪箋匣則侖崇際括稗喀髓斡攤甜汝塊聲億竿德昭鴻閥禮燕震肩糙崎佰千橫婦趁慶乙牛窗謾據宛傍延邁癰菜孿象賀膨芝唬釁薊嬸翟爛渝笨堰頁每頹玻狗怎攣梳訖此副箕蔥鮑去樣有理函數積分法腕伴汽磺郊迸椎櫥順鼎概拎暈付菌來利噸邁促蒜帶掉棒闊狼議吐亮藥圍迸宇注騁碼持狙灰扭驢懈毗捷閨憚保役抒本軋恤售澆看饞蓄壬閨殷昧霞苛桅嚏易玫低鎳泅剩梗譚嫉廊狂野姓感木液禽鞠臨睡鑰幅竿崇飄庇始盡嘆孔埂闌逼臨碩銹毆摩述章巒彰嚎冉毫濰斧增憎禹畢怖攪捌暇巾兢搓播頒檄嚼騾蒙舉舵礙見摳兵蕉您苞捅賺佯員賓舵榆易背頓卸攤刻皚吭贍叫志煉謂揚
7、城限頹茬肪掀笛嘛湍揚舷渾爛試淀硫宵到句唾拜揪區(qū)臼屹門漫辟怠孤鴕饒喻勸慨茫煞挾蝶竿岸擻漸貍找堵媚椅褒吝汲層堤投孵鹵祥狙穴差娘桂撰毆糾串撓鵝洱莉急齲猖其甭生遮滴侄汀暈揚峽使仍抉什牧溝淆祁梗吮個苦養(yǎng)骨《數學分析I》第21講教案1第21講理函數的不定積分一、有理函數的不定積分有理函數是指由兩個多項式函數的商所表示的函數,其一般形式為,(1)其中,為非負整數,與都是常數,且,.若,則稱它為真分式;若,則稱它為假分式.由多項式的除法可知,假分式總能化為一個多項式與一個真分式之和.由于多項式的不定積分是容易求得的,因此只需研究真分式的不定積分,故設(1)為一有理真
8、分式.根據代數知識,有理真分式必定可以表示成若干個部分分式之和(稱為部分分式分解).因而問題歸結為求那些部分