線段的最大值與最小值

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1、14-4線段的最大值與最小值---利用對(duì)稱求最小一、基本依據(jù)：1．線段公理——兩點(diǎn)之間，線段最短；2．對(duì)稱的性質(zhì)——①關(guān)于一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；②對(duì)稱軸是兩個(gè)對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；3．三角形兩邊之和大于第三邊；4．三角形兩邊之差小于第三邊。5、垂直線段最短例1，2008北京8．已知為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面上一點(diǎn)，點(diǎn)在上．一只蝸牛從點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到點(diǎn)時(shí)所爬過(guò)的最短路線的痕跡如右圖所示．若沿將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展開(kāi)，所得側(cè)面展開(kāi)圖是（）OPMOMPA．OMPB．OMPC．OMPD．例2，如圖所示，在河岸L的一側(cè)有兩個(gè)村

2、莊A、B，現(xiàn)要在河岸L上修建一個(gè)供水站，問(wèn)供水站應(yīng)建在什么地方，才能到A，B兩村莊的距離之和最短？首先，我們來(lái)推導(dǎo)一個(gè)軸對(duì)稱的性質(zhì)，如圖，作B點(diǎn)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)B1,在直線L上任意定一點(diǎn)M，連接BB1，BM，B1M，根據(jù)軸對(duì)稱知識(shí)，我們可以求證BM＝B1M，所以，我們可以得出這樣的性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)的距離相等。在該例題中，利用這一性質(zhì)，我們可得出：點(diǎn)B到河岸L上任意點(diǎn)M的距離等于對(duì)稱B1到點(diǎn)M的距離。要使AM+B1M最小，必須使A、M、B1三點(diǎn)共線，也就是說(shuō)，必須使點(diǎn)M，與AB1連線和L的交點(diǎn)N重合，所以，河岸上的

3、N點(diǎn)為到A、B的距離之和最小的點(diǎn)。二、基本圖形一）、已知兩個(gè)定點(diǎn)：1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：A、A’是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA

4、+PQ+QA周長(zhǎng)最短.二）、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小（在圖中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè)：2、兩點(diǎn)在直線同側(cè)：（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B在⊙O上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè)：2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè)：三）、已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,

5、且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左移動(dòng)PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：四、求兩線段差的最大值問(wèn)題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’二、真題選講1北京2009,25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D,使CD=,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）

6、求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF，若過(guò)B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短。（要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）2（東城二模2011）25.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC

7、＝3，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC，交OA于點(diǎn)D．將∠DBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)E和F．（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）當(dāng)BE經(jīng)過(guò)（1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長(zhǎng)；BCAxyFODE（3）在拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方），且PQ＝1，要使四邊形BCPQ的周長(zhǎng)最小，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．