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1、發(fā)現(xiàn)之旅：由正方形“衍生”出正方形 【關(guān)鍵詞】正方形；探究；性質(zhì)；判定 在文[1]中探究了由正三角形“衍生”出正三角形的一些情況，作為正多邊形家族的正方形（正四邊形）是否也具有類(lèi)似的性質(zhì)呢？ 一、命題引入 圖2命題1已知，如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在它的四條邊上（不含端點(diǎn)），且BE=CF=DG=AH.所得四邊形EFGH為正方形. 命題2已知，如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在它的四條邊上（不含端點(diǎn)、中點(diǎn)），且BE=CF=DG=AH，DE分別交CH，AF于點(diǎn)M，N，BG分別交CH，AF于點(diǎn)Q，P.
2、所得四邊形MNPQ為正方形. 命題1由文[2]給出類(lèi)似的證明，命題2由文[3]給出類(lèi)似的證明，在此不在贅述.那么，除此之外，還有其他類(lèi)似的情景嗎？ 二、命題探究 圖3探究命題1已知，如圖3，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在正方形ABCD的BC，CD，DA，AB的延長(zhǎng)線上，且BE=CF=DG=AH.結(jié)論：四邊形EFGH為正方形. 證明∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=90°， ∴∠HBE=∠ECF=90°，∵AH=BE=CF=DG，∴BH=CE=DF=AG， 在Rt△HBE和Rt△ECF中：BH=CE，∠HBE=
3、∠ECF=90°，BE=CF.∴Rt△HBE≌Rt△ECF（SAS），∴HE=EF，∠BHE=∠CEF，4 ∵∠BHE+∠BEH=90°，∴∠CEF+∠BEH=∠FEH=90°， 同理可得：EF=FG，F(xiàn)G=GH，∴HE=EF=FG=GH， ∴四邊形EFGH為菱形，又∵∠FEH=90°， ∴菱形EFGH為正方形，∴四邊形EFGH為正方形. 圖4探究命題2已知，如圖4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在正方形ABCD的BC，CD，DA，AB的延長(zhǎng)線上，且BE=CF=DG=AH.延長(zhǎng)EB交GH于點(diǎn)M，延長(zhǎng)FC交HE于點(diǎn)N，延長(zhǎng)GD交EF于點(diǎn)P，延長(zhǎng)
4、HA交FG于點(diǎn)Q.結(jié)論：四邊形MNPQ為正方形. 證明：∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∠BCD=∠CDA=90°， ∴∠ECN=∠FDP=90°，∠NCM=∠PDN，∵AH=BE=CF=DG，∴BH=CE=DF=AG， 由探究命題1得：Rt△HBE≌Rt△ECF，∴∠CEN=∠DFP. 在Rt△ECN和Rt△FDP中：∠ECN=∠FDP=90°，CE=DF，∠CEN=∠DFP. ∴Rt△ECN≌Rt△FDP（ASA），∴CN=DP，EN=FP， 同理可得：CN=DP=AQ=BM，EN=FP=GQ=HM，∴CM=DN=
5、AP=BQ， 在△NCM和△PDN中：CM=DN，∠NCM=∠PDN，CN=DP. ∴△NCM≌△PDN（SAS），∴MN=NP，∠CMN=∠DNP，∴∠MNP=90°， 同理可得：NP=PQ，PQ=QM，∴MN=NP=PQ=QM，∴四邊形MNPQ為菱形， 又∵∠MNP=90°，∴菱形MNPQ為正方形，∴四邊形MNPQ為正方形. 圖5探究命題34已知，如圖5，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在正方形ABCD的BC，CD，DA，AB的延長(zhǎng)線上，且BE=CF=DG=AH，HC，DE交于點(diǎn)M，ED，AF交于點(diǎn)N，F(xiàn)A，BG交于點(diǎn)P，GB，CH交于點(diǎn)Q
6、. 結(jié)論：四邊形MNPQ為正方形. 證明∵正方形ABCD，∴BC=CD=AD=AB， ∠ABC=∠BCD=90°，∴∠HBC=∠ECD=90°， ∵BE=CF=DG=AH，∴CE=DF=AG=BH， 在△HBC和△ECD中：BH=CE，∠HBC=∠ECD，BC=CD. ∴△HBC≌△ECD（SAS），∴∠CDE=∠BCH，∠H=∠E，CH=DE， ∵∠BCH=∠ECM，∠H=∠E，∴∠CME=∠HBC=90°， ∴∠QMN=90°，同理可得∠MNP=90°，∠NPQ=90°， ∴四邊形MNPQ為矩形，∠HBQ=∠ECM，
7、在△HBQ和△ECM中：∠HBQ=∠ECM，BH=CE，∠H=∠E. ∴△HBQ≌△ECM（ASA），∴BQ=CM，HQ=EM， ∵CH=DE，HQ=EM， ∴CQ=DM，同理可得：BQ=CM=DN，∴QC+CM=MD+DN，∴QM=MN， ∴矩形MNPQ為正方形，∴四邊形MNPQ為正方形. 三、結(jié)束語(yǔ) 如圖6、圖7、圖8、圖9所示，類(lèi)似的情況還很多，不勝枚舉，有興趣的讀者可以繼續(xù)探究.本文有許多不足之處，在此僅是拋磚引玉，敬請(qǐng)批評(píng)指正. 【參考文獻(xiàn)】 [1]楊川.發(fā)現(xiàn)之旅：由正三角形“衍生”出正三角形[J].考試與評(píng)價(jià)，20
8、16（8）.4 [2]郭道虎.由一道教材習(xí)題的引申再談《請(qǐng)幫我解惑》[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2012（7）. [3]周余孝.由正方形到正多邊形[J].中學(xué)
