由一道高考試題引發(fā)的思考

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1、由一道高考試題引發(fā)的思考　　1.問題提出　　題目（2009年遼寧高考理科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C過點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0）和（1，0）.　?。?）求橢圓C的方程；　?。?）E，F(xiàn)是橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.　　本題第（1）問橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1，第（2）問主要考查直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想.立意深刻，有內(nèi)涵.解題過程略，對于第（2）問，注意到

2、點(diǎn)A（1，）的特殊性，這個(gè)點(diǎn)是橢圓的一條通徑（過焦點(diǎn)作長軸所在直線的垂線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，AB是橢圓的一條通徑）的端點(diǎn)，直線的斜率是定值，這個(gè)定值恰好是橢圓的離心率.那么本題能否推廣到一般情形呢？下面本文將對其進(jìn)行探究.　　2.問題探究　　探究1：已知橢圓C：+=1（a>b>0），點(diǎn)A（-c，）是橢圓的一條通徑的一個(gè)端點(diǎn)，E，F(xiàn)是橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，這個(gè)定值是橢圓的離心率的相反數(shù).4　　證明：設(shè)E（x，y），F(xiàn)（x，y），直線AE的方程為y=k（x+c

3、）+，代入橢圓方程，整理得（b+ak）x+（2kab+2kac）x+b+2kbac-ab=0.　　根據(jù)韋達(dá)定理x-c=-，解得x=.　　因?yàn)橹本€AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，x=.　　x+x=，x-x=.　　k====-e證畢.　　上述高考題中的A（1，）是位于第一象限的通徑的一個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對稱性，屬于探究1的特殊情形.它的逆命題經(jīng)證明也成立，于是得到.　　探究2：已知橢圓C：+=1（a>b>0），點(diǎn)A（-c，）是橢圓的一條通徑的一個(gè)端點(diǎn)，E，F(xiàn)是橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，如果直線EF的斜率為定值，這個(gè)定值是橢圓的離心

4、率的相反數(shù)，那么直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù).　　證明：設(shè)E（x，y），F(xiàn)（x，y），直線EF的方程為y=-ex+m，代入橢圓的方程整理得　?。╞+ae）x-2amex+ma-ab=0.　　x+x=，xx=.則有　?。?ex+m）（x+c）+（-ex+m）（x+c）=-2exx+（m-ec-）（x+x）+2mc-c　　=2mc（a-b-c）=0.　　k+k=+4　　==0.　　即直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù).證畢.　　橢圓有上述性質(zhì)，經(jīng)證明雙曲線，拋物線也有類似的性質(zhì)，于是又得到.　　探究3：已知雙曲

5、線C：-=1（a>0，b>0），點(diǎn)A（-c，）是雙曲線的一條通徑的一個(gè)端點(diǎn)，E，F(xiàn)是雙曲線上的兩個(gè)動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，直線EF的斜率為定值，這個(gè)定值是雙曲線的離心率的相反數(shù).　　探究4：已知拋物線y=2px（p>0），點(diǎn)A（，p），E，F(xiàn)是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，直線EF的斜率為定值，這個(gè)定值為-1.　　證明：設(shè)E（x，y），F(xiàn)（x，y），直線AE的方程為y=k（x-）+p，代入拋物線的方程y=2px，整理得kx-（pk-2kp+2p）x+p-pk+p

6、=0.　　根據(jù)韋達(dá)定理x+=-，解得x=.　　因?yàn)橹本€AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，x=.　　x+x=，x-x=.　　k====-1證畢.　　探究3，4的逆命題也成立，證明略.　　由此得到圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)：　　已知點(diǎn)A是圓錐曲線Γ的一條通徑的一個(gè)端點(diǎn)，E，F(xiàn)是圓錐曲線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且k+k=0則k=

7、e

8、.它的逆命題也成立.4　　3.解后反思　　高考試題匯聚了命題專家的智慧與心血，如果我們能最大限度地發(fā)揮試題的探究功能，教師才能近距離與命題專家進(jìn)行心靈交流，同時(shí)解題后的反思可使理解進(jìn)入深層次，進(jìn)而誘發(fā)新的想法，

9、展開新的探究，在探究中升華，在升華中讓能力生根.4