數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料(理工)

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1、數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料(理工)第一講函數(shù)與極限（一）內(nèi)容要點(diǎn)及重要方法提示1.不等式與有限和公式:1.對(duì)n個(gè)正數(shù)式中的三項(xiàng)依次稱為這些正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù).2.對(duì)n個(gè)實(shí)數(shù)3.對(duì)2n個(gè)實(shí)數(shù)4.若0≠a>-1,且整數(shù)n>1,則有5.若實(shí)數(shù)均大于-1且同號(hào),則6.對(duì)任意實(shí)數(shù)x有且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=0;若7.8.9.10.11.12.13.14.2.函數(shù),復(fù)合函數(shù)與變量替換.例1.1.設(shè)函數(shù)f(x)=，f[j(x)]=1-x，且j(x)30，求j(x).(1990北京理工大學(xué)競(jìng)賽)解.因3.簡(jiǎn)單函數(shù)方程的求解.一般通過變量替換,從方程得到

2、關(guān)于f(x)、f[g(x)]等的方程組,然后解出f(x).例1.2.求滿足方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy的函數(shù)f(x),其中f(0)=a與f(p/2)=b為已知常數(shù).解.以(x,y)=(0,u),(u+p/2,p/2),(p/2,u+p/2)代入原方程,可得含f(u)、f(-u)、f(u+p)的方程組,然后解出f(u)=acosu+bsinu,即有f(x)=acosx+bsinx.4.數(shù)列與函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則:(1)夾擠準(zhǔn)則.(2)單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則.(3)柯西收斂準(zhǔn)則.例1.3.設(shè)存在，并求其值.分析.給定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)

3、增加有上界，偶數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)減少有下界，因此兩子列均收斂.對(duì)于這種數(shù)列仍可應(yīng)用單調(diào)有界準(zhǔn)則.解.首先易見命題1.1.若命題1.2.設(shè)例1.4.設(shè)解.5.冪指函數(shù)的極限.命題1.3.在某變化過程中,函數(shù)f(x)為無窮小量,g(x)為無窮大量,limf(x)g(x)=b,則命題1.4.在某變化過程中,f(x)與g(x),F(x)與G(x)均為等價(jià)無窮小(大),且f(x)>0,g(x)>0,例1.5.計(jì)算極限解.令故原式=1.6.用洛必達(dá)法則與泰勒展開式計(jì)算極限.應(yīng)用洛必達(dá)法則之前應(yīng)注意:(1)先判斷極限是否型;(2)通過分解、變量的等價(jià)替換、析出可成為

4、常數(shù)的變量等整理和化簡(jiǎn),以便于計(jì)算導(dǎo)數(shù);(3)可重復(fù)上述步驟.應(yīng)用泰勒展開式時(shí)需注意分子與分母展開的階數(shù)為各自主部的階數(shù).例1.6.設(shè)函數(shù)f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且解.因例1.7.若()(A)0.(B)6.(C)36.(D)∞.解.用sin6x的泰勒展開式,知應(yīng)選:C.注.由于f(x)無可微條件,此題不能用洛必達(dá)法則.7.無窮小、無窮大量階的比較.(1)當(dāng)正整數(shù)n?￥時(shí),以下各無窮大數(shù)列的階由低到高排列為:(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x?+￥時(shí)，以下各無窮大量的階由低到高排列為:(3)當(dāng)x?0時(shí)，下列各無窮小量～x:sinx,arcsinx,tanx,arct

5、anx,(4)設(shè)ar10，k為正整數(shù)，則x?0時(shí):～～arx,～(5)當(dāng)x?￥時(shí):～8.等價(jià)無窮小(大)量在極限計(jì)算過程中的替換：命題1.5.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，x?0時(shí)f(x)～～.命題1.6.設(shè)在某個(gè)變化過程中,無窮小(大)量函數(shù)f(x)～a～b,a≠0≠b,r>0,s>0:(1)若s

6、不等于1的數(shù)或∞,則對(duì)任何變量u(x),有l(wèi)im[u(x)(f(x)–F(x))]=lim[u(x)(g(x)–G(x))].例1.8.當(dāng)x?0+時(shí),與等價(jià)的無窮小量是(A)1(B)(C)(D)(2007研招一)解.ln(1+x)～x,～,應(yīng)選:B.例1.9.計(jì)算極限(2001天津競(jìng)賽理工)解.例1.10.設(shè)f(x)=則當(dāng)x?0時(shí)，()(A)f(x)與g(x)為同階但非等價(jià)無窮小.(B)f(x)與g(x)為等價(jià)無窮小.(C)f(x)是比g(x)更高階的無窮小.(D)f(x)是比g(x)更低階的無窮小.解.因x?0時(shí)知應(yīng)選:A.9.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與定積分

7、定義計(jì)算極限.例1.11.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a可導(dǎo),解.原式=,令于是原式=→0(n→∞),原式=f’(a)..例1.12.求=.解.原式=10.由包含參數(shù)的變量極限求參數(shù)的問題.例1.13.設(shè)函數(shù),當(dāng)x?0時(shí)的極限存在,求a的值.解.11.曲線的漸近線.例1.14.曲線漸近線的條數(shù)為(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(2007研招一)解.曲線有漸近線x=0,y=0,y=x.應(yīng)選:D.12.多元函數(shù)的(多重)極限.一般通過一元函數(shù)的極限來研究二(多)元函數(shù)的極限,有時(shí)也可利用極坐標(biāo)來研究二元函數(shù)的極限;通過兩條不同路徑考察函數(shù)的變化情況來驗(yàn)

8、證二元函數(shù)的極限不存在.例1.15.求極限:解.顯然因此原式=0.（二）習(xí)題1.1.填空題:(1)設(shè)函數(shù)f(x)=，則函數(shù)f(x¤2)+