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1、數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料(理工)第六講曲線積分（一）內(nèi)容要點(diǎn)及重要方法提示1.第一型(對(duì)弧長)曲線積分.弧微分dsdx2dy2dz2dl.注意無方向問題,一般計(jì)算程序:畫出積分路徑的圖形;將路徑用參數(shù)式表示;表dl為參變量的微分式后化成定積分計(jì)算.(1)化成參變量的定積分計(jì)算.例6.1.設(shè)c>0為常數(shù)x2y2cz,L:y.求L上從原點(diǎn)到點(diǎn)A(x0,y0,z0)的弧長.xtanczz,sinz,,弧微分d2zcd,因此所求弧長解.L的參數(shù)方程是:cosxczcyczczzs4czzz02z0）（sdscz013c.0
2、例6.2.計(jì)算均勻密度的球面x2y2z2a2(a0)在第一卦限部分的邊界曲線的重心坐標(biāo).解.邊界曲線的三段弧分別有參數(shù)方程:x=acosθ,y=asinθ,z=0,0≤θ≤π∕2;x=acosφ,y=0,z=asinφ,0≤φ≤π∕2;x=0,y=acosφ,z=asinφ,0≤φ≤π∕2.2曲線周長s=3aπ∕2,及sx0(2)第一型曲線積分的對(duì)稱性用法acosad2acosad,于是重心坐標(biāo)xyz34a.0.例6.3.計(jì)算積分I=d,其中:(22)22(22),a>0.ylLxyaxyL解.用極坐標(biāo),
3、L:r4a2r2(cos2sin2)r2a2cos2.根據(jù)對(duì)稱性得積分I=44r2[r()]2d4a2(122).rsin0例6.4.設(shè)L是順時(shí)針方向橢圓x2y21,周長為l,則(xyx22)ds=.(2001天津賽)44yL2y21x24y24,根據(jù)對(duì)稱性得積分=4l.解.x42.第二型(對(duì)坐標(biāo))曲線積分.PdxQdyRdzFdlCC注意有方向問題,一般計(jì)算方法有:化成參變量的定積分計(jì)算;應(yīng)用格林公式或斯托克斯公式;利用與路徑無關(guān)條件計(jì)算.(1)化成參變量的定積分計(jì)算.例6.5.設(shè)L為正向圓周x2y22在
4、第一象限中的部分,則曲線積分xdy2ydx=.L解.L:x2cos,y2sin,:02.于是有積分=3π∕2.例6.6.設(shè)C是從球面x2y2z2a2上任一點(diǎn)到球面x2y2z2b2上任一點(diǎn)的任一光1/5滑曲線(a>0,b>0),計(jì)算積分I=r3(xdxydyzdz),其中rx2y2z2.Lb3rdr51(b5a5).解.rdr=xdx+ydy+zdz,I=ra(2)格林公式的應(yīng)用(注意條件).當(dāng)L不閉合時(shí),應(yīng)添加光滑曲線使其閉合后再用格林公式.例6.7.設(shè)L是分段光滑的簡單閉曲線,(2,0)、(2,0)兩點(diǎn)不
5、在L上.試就L的不同情形分別計(jì)算如下曲線積分的值:[y22y2]d[2x22x2]d.(1991上海競賽)222IL(2x)y(2x)yx(2x)y(2x)yy解.令A(yù)(2,0),B(2,0),L包圍的平面區(qū)域內(nèi)部為D,記GDL,P1y,P2y2x,Q2(2x),PP1P2,QQ1Q2.(2x)2y2(2x)2y2,Q1(2x)2y2(2x)2y2P(2x)2y2Q1,P(2x)2y2Q2.則1[(2x)2y2]2x22y2]2yy[(2x)x、B均為G的外點(diǎn),根據(jù)格林公式有I=0.(1)A(2)A為G的內(nèi)
6、點(diǎn),B為G的外點(diǎn),則以A為中心作半徑r充分小的閉圓盤E含于D內(nèi),記E的正向邊界為C,有I=CC(QxyP)dCPdxQdy0P1dxQ1dyP2dxQ2dyLDECC=P1dxQ1dy,且C:x=2+rcosθ,y=rsinθ,0≤θ<2π,于是有I=2π.C(3)A為G的外點(diǎn),B為G的內(nèi)點(diǎn),同理可得I=2π.(4)A、B均為G的內(nèi)點(diǎn),與(2)相仿,在D內(nèi)分別以A、B為中心作半徑r充分小的閉圓盤使它們的并集含于D內(nèi),仍用格林公式可得I=4π.(3)積分與路徑無關(guān)的問題.例6.8.設(shè)函數(shù)f(x)在(∞,+∞)
7、內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),求積分C1y2f(xy)dxx2[y2f(xy)1]d,其中Cyyy是從點(diǎn)A(3,2∕3)到點(diǎn)B(1,2)的直線段.(1994北京競賽)解.積分與路徑無關(guān),因此積分為1222223[1943f(32x)]dx212[yf(y)1]dy33f(u)du2f(y)dy14.y233(4)求原函數(shù)問題.例6.9.設(shè)函數(shù)Q(x,y)在xOy平面上具有連續(xù)一階騙導(dǎo)數(shù),曲線積分xyxQxyy與路徑無2d(,)dL關(guān),并且對(duì)任意的t恒有(t,1)(1,t)2xyxQxyyxyxQxyyd(,)d(0,0)
8、2d(,)d,求Q(x,y).(2001天津)(0,0)解.因積分與路徑無關(guān),有Q(2xy)2,(,)2(),其中C(y)為待定函數(shù).又xyxQxyxCy(t,1)Q(x,y)dy1C(y)]dyt212xydx[t2C(y)dy,(0,0)00(1,t)Q(x,y)dytC(y)]dyttC(y)dy,對(duì)t21tt2xydx[1C(y)dyC(y)dy的(0,0)0000兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得2t=1+C(t),由此
