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1、數學竟賽培訓資料(理工)第六講曲線積分（一）內容要點及重要方法提示1.第一型(對弧長)曲線積分.弧微分.注意無方向問題,一般計算程序:畫出積分路徑的圖形;將路徑用參數式表示;表dl為參變量的微分式后化成定積分計算.(1)化成參變量的定積分計算.例6.1.設c>0為常數,L:的弧長.解.L的參數方程是:因此所求弧長.例6.2.計算均勻密度的球面在第一卦限部分的邊界曲線的重心坐標.解.邊界曲線的三段弧分別有參數方程:x=acosθ,y=asinθ,z=0,0≤θ≤π∕2;x=acosφ,y=0,z=asinφ,0≤φ≤π∕2;x=0,y=acosφ,z=
2、asinφ,0≤φ≤π∕2.曲線周長s=3aπ∕2,及(2)第一型曲線積分的對稱性用法.例6.3.計算積分I=a>0.解.用極坐標,L:.根據對稱性得積分I=4.例6.4.設L是順時針方向橢圓=.(2001天津賽)解.根據對稱性得積分=4l.2.第二型(對坐標)曲線積分.注意有方向問題,一般計算方法有:化成參變量的定積分計算;應用格林公式或斯托克斯公式;利用與路徑無關條件計算.(1)化成參變量的定積分計算.例6.5.設L為正向圓周=.解.L:于是有積分=3π∕2.例6.6.設C是從球面上任一點的任一光滑曲線(a>0,b>0),計算積分I=,其中.解.
3、rdr=xdx+ydy+zdz,I=.(2)格林公式的應用(注意條件).當L不閉合時,應添加光滑曲線使其閉合后再用格林公式.例6.7.設L是分段光滑的簡單閉曲線,(2,0)、(-2,0)兩點不在L上.試就L的不同情形分別計算如下曲線積分的值:(1991上海競賽)解.令A(2,0),B(-2,0),L包圍的平面區(qū)域內部為D,記.則(1)A、B均為G的外點,根據格林公式有I=0.(2)A為G的內點,B為G的外點,則以A為中心作半徑r充分小的閉圓盤E含于D內,記E的正向邊界為C,有I==且C:x=2+rcosθ,y=rsinθ,0≤θ<2π,于是有I=-2
4、π.(3)A為G的外點,B為G的內點,同理可得I=-2π.(4)A、B均為G的內點,與(2)相仿,在D內分別以A、B為中心作半徑r充分小的閉圓盤使它們的并集含于D內,仍用格林公式可得I=-4π.(3)積分與路徑無關的問題.例6.8.設函數f(x)在(-∞,+∞)內具有連續(xù)導數,求積分其中C是從點A(3,2∕3)到點B(1,2)的直線段.(1994北京競賽)解.積分與路徑無關,因此積分為(4)求原函數問題.例6.9.設函數Q(x,y)在xOy平面上具有連續(xù)一階騙導數,曲線積分與路徑無關,并且對任意的t恒有求Q(x,y).(2001天津)解.因積分與路徑
5、無關,有其中C(y)為待定函數.又的兩邊關于t求導得2t=1+C(t),由此推出例6.10.確定常數λ,使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xyj為某二元函數u(x,y)的梯度,并求u(x,y).(1998研)解.令P(x,y)=2xy解得λ=-1.然后有u(x,y)=(5)曲線積分的證明題.例6.11.設P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的偏導數,且對以任意點為圓心,以任意正數r為半徑的上半圓L:證明:(2004天津競賽)證.記上半圓直徑為AB,取AB+L為逆時針方向,其包圍的區(qū)域為D,由格林公式與積分中值定理M∈D,且于是的任意性知P(x,
6、y)≡0,且例6.12.設函數φ(y)具有連續(xù)導數,在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上,曲線積分的值恒為同一常數.(1)證明:對右半平面x>0內的任意分段光滑簡單閉曲線C,有(2)求函數φ(y)的表達式.(2005研)解.(1)設C是半平面x>0內的任意分段光滑簡單閉曲線,在C上任取兩點M、N,圍繞原點作閉曲線(如圖)進行積分即得證明.(2)由(1),在半平面x>0內積分與路徑無關,得例6.13.設在上半平面D={(x,y)
7、y>0}內,函數f(x,y)具有連續(xù)偏導數,且對任意的t>0都有f(tx,ty)=證明:對D內的任意分段光滑的有向簡單閉曲
8、線L,都有(2006研)證.又f(tx,ty)=對t求導后,令t=1,即可得結果.3.曲線積分的應用題.例6.14.若懸鏈線上每一點的密度與該點的縱坐標成反比,且在點(0,a)的密度等于b.試求曲線在橫坐標0到a的點之間弧段C的質量m.解.由條件知曲線上點(x,y)處的密度為ab∕y,于是m=例6.15.質點P在力F作用下從點A(1,2)沿著直徑AB的半圓周(見圖)運動到B(3,4),F的大小等于點P(x,y)與原點間的距離,方向垂直于線段OP且與y軸正向夾角為銳角.求變力F所作的功W.解.F=-yi+xj,令L是所述AB弧:于是W=4.兩類曲線積分
9、的聯系.其中cosα,cosβ,cosγ為有向曲線L的正向切線的方向余弦.（二）習題6.1.填空題:設當x?
