薄板受迫振動(dòng)問(wèn)題的trefftz有限元法

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1、天津大學(xué)碩十學(xué)能論文第一章緒淪由于I：述種種優(yōu)點(diǎn)，到目前為止，Trefftz有限元法已經(jīng)得到較多學(xué)者的關(guān)注，并取得了··定的成果。然而，目前對(duì)薄板強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題的研究還很不足。鑒于此，本文從Trefftz有限元基本理論出發(fā)，結(jié)合無(wú)條件穩(wěn)定的平均加速度法，建立薄板強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題的Trefftz有限元模型，分析了薄板受迫振動(dòng)問(wèn)題。1．2Tremz有限元的發(fā)展現(xiàn)狀Trefftz方法是g了Trefftz【8】于1926年首先提出的，TrefPtz將這一方法應(yīng)用于解決Laplace方程I均Dirichletth7題。其后，Tfef拖法由Biman【9-l¨，Rafarson【12，131等人的研究中得到了

2、推廣。然而直到20世紀(jì)70年代才逐漸引起了學(xué)術(shù)界的重視。在經(jīng)典的Trefftz法中，Trefftz函數(shù)中的待定系數(shù)通過(guò)邊界條件的某種加權(quán)殘數(shù)方式確定，屬于間接法【14】。1989年，Cheung，Jin,Zienkiewicz等人【15】提出TTrefftz直接法。該法是將T-完備解函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，對(duì)控制方程的加權(quán)殘余表達(dá)式應(yīng)用兩次格林公式構(gòu)造出邊界積分方程，以節(jié)點(diǎn)物理量為未知數(shù)直接求解邊界節(jié)點(diǎn)的物理量值。Steintl61、Ruo一171、Zienkiewicz[181等人通過(guò)有限元與邊界型解法的聯(lián)合使用，對(duì)Trefftz方法做了早期的數(shù)值研究。隨著研究的深入，Trefftz法與有限元相結(jié)

3、合的數(shù)值方法逐漸發(fā)展起來(lái)。Trefftz有限元是在七十年代末才提出來(lái)的一種有限元模型【l91。作為計(jì)算力學(xué)中的一種數(shù)值方法，Hybrid-TrefftzOaT)有限元法己開始引起人們的重視并在工程中得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。與傳統(tǒng)有限元模型不同的是，Trefftz有限元模型利用輔助網(wǎng)線位移場(chǎng)或面力場(chǎng)，在一種雜交意義上將單元域內(nèi)位移場(chǎng)關(guān)聯(lián)起來(lái)。單元域內(nèi)位移場(chǎng)精確滿足控制微分方程，它可表達(dá)為微分方程的特解加上適當(dāng)截?cái)嗟腡refftz完備解系(或■完備解系)與待定參數(shù)乘積的形式。利用定義在每個(gè)單元邊界上的獨(dú)立的網(wǎng)線位移場(chǎng)，單元間的連續(xù)性就在一種近似意義上得到滿足。在單元一級(jí)上消去內(nèi)部待定參數(shù)后即可得到

4、標(biāo)準(zhǔn)的力．位移關(guān)系式(即單元?jiǎng)偠确匠?。T-完備解系的數(shù)學(xué)理論主要是由He玎cra及其合作者完成的【20-231，并將其命名為C．完備解系。為紀(jì)念這種非奇異解的創(chuàng)立者Trefftz、Zienkiewicz[24]建議將其更名為T．完備解系。ZielinskiA．P．和ZienkiwiczO．C．125J將Trefftz完備函數(shù)引入有限元法，求解廣義協(xié)調(diào)方程。Jirousek和Guex[261提出雜交Trefftz單元，建立了雜交Trefftz有限元法(HybridTrefftzFEM)。秦慶華[41的專著對(duì)于Trefftz有天津大學(xué)碩十學(xué)位淪文第一章緒論限元有詳盡的闡述，可以說(shuō)Trefftz

5、有限元已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于平面彈性問(wèn)題f27．281、薄板彎曲【29-301、中厚板【31】、厚板【321、Poisson方程[33,34]、熱傳導(dǎo)f35】、壓電問(wèn)題∞3s]、自由面滲流問(wèn)題【39．刪、幾何非線性問(wèn)題【41刪、材料非線性問(wèn)題【45-47]等各個(gè)力學(xué)領(lǐng)域。為了推動(dòng)Trefft2方法在計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展和應(yīng)用，自1996年起每四年定期召開圍際性專題討論會(huì)，目前已經(jīng)成功地召開了四次。其中第一次于1996年在波蘭的科拉科召開，同時(shí)紀(jì)念Trefftz發(fā)表論文“GegenstuckzumRitzschenVerfahren”70周年；為慶祝Jirousek教授潛心致力于Trefftz有限元

6、公式的推導(dǎo)及其軟件SAFE的開發(fā)，1999年在葡萄牙的辛特拉召開第二次國(guó)際研討會(huì)；緊接著第三次于2002年在英國(guó)埃塞特召開：第四次于2005年在斯洛伐克Zilina召開。Trefftz單元在平面彈性問(wèn)題中的應(yīng)用開始于Jirousek和Teodorescut481的工作。根據(jù)網(wǎng)線位移場(chǎng)是定義在整個(gè)單元邊界上及單元交邊界上，他們導(dǎo)得了平面彈性單元的兩個(gè)變分公式。隨后，Jirousek和Venkatesht49l從Muskhelishvili復(fù)變函數(shù)法出發(fā)，發(fā)展了p-型TretItz平面彈性單元。此外，還出現(xiàn)了許多其它形式的Trefftz平面彈性單元，如Kompis等人【501、Sladek等人【

7、51】以及秦慶華嗍的工作。1．3彈性薄板的動(dòng)力響應(yīng)分析由動(dòng)載荷引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)稱作受迫振動(dòng)或動(dòng)力響應(yīng)分析。所謂求動(dòng)力響應(yīng)就是在初始條件下求解運(yùn)動(dòng)方程，確定各個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)矢量。進(jìn)而利用應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，還可以得到物體內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力隨時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)于動(dòng)力響應(yīng)的分析，可采用振型疊加法、直接積分法(或稱逐步積分法)等方法【2】。其中，振型疊加法的基本思想是通過(guò)坐標(biāo)變換，將一個(gè)多自由度體系的n個(gè)耦合運(yùn)動(dòng)方程，分解