薄板彎曲的變分原理及有限元素法.doc

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1、第三章薄板彎曲的變分原理及有限元素法3.1基本問(wèn)題基本認(rèn)識(shí)：板作為承力的結(jié)構(gòu)元件，主要通過(guò)彎曲起作用。如果垂直于板面的撓度與板的厚度相比很小的話，則由彎曲而引起的板中面的拉伸作用就可以忽略不及，這是所謂的小撓度問(wèn)題，一般認(rèn)為以下。反之，越大，彎曲引起的中面拉伸的影響越來(lái)越大，就不能忽略不計(jì)，導(dǎo)致所謂大撓度問(wèn)題。除板的彎曲變形之外，還伴隨有剪切變形，剪切作用的影響一方面取決于材料的剪切模量，另一方面取決于厚度/跨度（）之比，即橫向剪切隨的增大而增大。通常把不考慮剪切作用（橫向剪應(yīng)變無(wú)窮大）的板理論叫做薄板理論，把考慮剪切作用的板理論叫做厚板理論。本章僅考慮小撓度薄板問(wèn)題?；炯僭O(shè)：取板的

2、中面為平面，取軸與軸垂直，設(shè)板的厚度為，可以是的函數(shù)。①變形假設(shè)：變形前垂直于中面的直線段在變形后沒(méi)有伸縮，并且繼續(xù)垂直變形后的中面。由此得：②內(nèi)力假設(shè)：板內(nèi)應(yīng)力的6個(gè)分量的大小不是同一量級(jí)，一般最大，約小一個(gè)量級(jí)，而又小一個(gè)量級(jí)；在靜力學(xué)分析中，。控制方程（內(nèi)力平衡方程及物理方程）①由彈性力學(xué)方法，對(duì)于均質(zhì)材料構(gòu)成的薄板，應(yīng)力分量可用5個(gè)內(nèi)力表示，即：（矩定義為單位寬度上的矩）Note：上述的彎距及剪力代表單位寬度上的，而不是整個(gè)板側(cè)面的。①用內(nèi)力表示的平衡方程：分布的橫向載荷在薄板理論中，內(nèi)力不產(chǎn)生應(yīng)變，因而也不做功，可在以后的分析中不計(jì)算它們，在上式中消去即得：②幾何關(guān)系：③物理

3、關(guān)系：（各向同性體）點(diǎn)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：內(nèi)力與應(yīng)變關(guān)系：注意：①單位面積上的應(yīng)變能及余應(yīng)變能（密度）應(yīng)變能密度（曲率作為自變量）變分：(單位長(zhǎng)度上轉(zhuǎn)角的變化)∴（這也是一種物理關(guān)系）代入關(guān)于內(nèi)力矩的物理關(guān)系，有：注意：上式中都是關(guān)于曲率的二次項(xiàng)，而且從物理上對(duì)于任意的曲率U>0，故U稱為正定的二次齊次函數(shù)。余應(yīng)變能密度：（可看作是內(nèi)力矩的函數(shù)）當(dāng)板的變形由一種狀態(tài)變到相鄰的另一種狀態(tài)時(shí)，V的變分為：在以前的研究中，我們把內(nèi)力表示成變形的函數(shù)，從而構(gòu)造和研究關(guān)于變形的泛函；在這里，我們把體系中的兩類量都看成獨(dú)立可變的，故有上式，（上式中由于V的表達(dá)式，變分的結(jié)果又可只認(rèn)為只有內(nèi)力矩變化）。這

4、是一種認(rèn)識(shí)觀點(diǎn)，對(duì)于后面理解廣義變分原理有利的。當(dāng)然，還應(yīng)當(dāng)注意這兩類變量之間存在著物理關(guān)系的約束。由的表達(dá)式可知：（研究其中一項(xiàng)時(shí)，讓其它兩項(xiàng)的變分為0）代入內(nèi)力矩關(guān)系，可知V是的正定二次齊次函數(shù)。②用撓度表示的平衡關(guān)系：把內(nèi)力矩的物理關(guān)系及曲率的幾何關(guān)系代入原平衡方程，即得：（雙調(diào)和方程）坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)引起的變換在研究板問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常用到不同坐標(biāo)系表示的包括法向?qū)?shù)等，因此在不同坐標(biāo)系下，板彎曲的基本量之間有什么聯(lián)系是我們經(jīng)常要遇到的計(jì)算。取兩個(gè)不同的坐標(biāo)系，如右圖①坐標(biāo)變換關(guān)系：②函數(shù)的方向?qū)?shù)：對(duì)于一個(gè)函數(shù)由求導(dǎo)的鏈?zhǔn)揭?guī)則：同理：①只要將F換成w即得曲率在不同坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)軸公式。②彎、

5、扭矩的轉(zhuǎn)軸規(guī)律應(yīng)注意到是單位寬度上的矩，推導(dǎo)時(shí)要依據(jù)平衡關(guān)系。由此得：剪力的轉(zhuǎn)軸規(guī)律符合矢量投影規(guī)律，即：典型的邊界條件（如右圖）：板在平面上所占區(qū)域；：板的邊界；：邊界外法線；：邊界切線方向；符合右手定則典型邊界條件有三種：①固支邊：如在上，，這里，為上已知的關(guān)于弧長(zhǎng)的函數(shù)。②簡(jiǎn)支邊：如在的部分邊界上簡(jiǎn)支，則有：為上已知的關(guān)于弧長(zhǎng)的函數(shù)。③自由邊：在自由邊上(指無(wú)位移限制)已知作用在邊界上的力（即所謂的自然邊界條件）。從內(nèi)力和內(nèi)力矩角度看，邊界上能反映出來(lái)的有三個(gè)，但不能?。海?，因從做功角度講，和并不完全獨(dú)立，分析如下：給自由邊界上的撓度有一變分，則在上所作的功為：可見(jiàn)，相當(dāng)于線分布

6、載荷以及作用在自由邊兩端的集中載荷。由于在自由邊兩端總是有支持的，所以在該兩端上的對(duì)板變形不產(chǎn)生影響，所以分析時(shí)略去不計(jì)?！嘤缮戏治?，是與相應(yīng)的廣義力，故自由邊的邊界條件應(yīng)為：在上，，（與點(diǎn)應(yīng)力的力邊界條件相似）是已知作用在上的線布載荷。若在自由邊界的某一點(diǎn)上有一集中載荷p，那么有：p表示單位寬度上的力。若沒(méi)有集中載荷，應(yīng)是s的連續(xù)函數(shù)，的跳躍量相應(yīng)于集中載荷。﹡自由邊界上有尖角的情況：為點(diǎn)前面一段終點(diǎn)的法向量；為點(diǎn)后面一段起點(diǎn)的法向量。命兩個(gè)法向量與軸的夾角為。在點(diǎn)前后的兩個(gè)扭矩：由于要求連續(xù)，即由此得：當(dāng)點(diǎn)尖角的兩條邊平行于軸，故得：3.2最小勢(shì)能原理C3C2考慮如圖的板受載系統(tǒng)：

7、上：C1上：上：整個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能包括兩部分：①板的應(yīng)變能為應(yīng)變能密度，是曲率的二次函數(shù)；②外載荷（包括邊界力）的勢(shì)能：(一次泛函，固支邊界位移變分為0）令w是問(wèn)題的精確解，是可能的撓度（在上滿足；在上滿足）最小勢(shì)能原理指出：與精確解相應(yīng)的總勢(shì)能達(dá)到最小值，即小于任何其它可能位移相應(yīng)的總勢(shì)能。證明的過(guò)程與梁的步驟全同。令：滿足齊次的邊界條件：與相應(yīng)的總勢(shì)能可以證明：，且若不是剛體運(yùn)動(dòng)，則。因此有，將最小勢(shì)能原理寫成變分形式：(留給同學(xué)自己完成)（這