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《數(shù)值分析第九講(1)new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第九章常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法§9.1引言科學(xué)研究和工程技術(shù)中的問(wèn)題往往歸結(jié)為求某個(gè)常微分方程的定解問(wèn)題.常微分方程的理論指出，很多方程的定解雖然存在，但可能十分復(fù)雜難于計(jì)算，也可能不能用簡(jiǎn)單的初等函數(shù)表示,因此常求其能滿足精度要求的近似解.常微分方程的數(shù)值解法常用來(lái)求近似解，由于它提供的算法能通過(guò)計(jì)算機(jī)便捷地實(shí)現(xiàn)，因此近年來(lái)得到迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用常微分方程數(shù)值解法的特點(diǎn)是：對(duì)求解區(qū)間進(jìn)行剖分，然后把微分方程離散成在節(jié)點(diǎn)上的近似公式或近似方程，最后結(jié)合定解條件求出近似解.因此數(shù)值解法得到的近似解是一個(gè)離散的函
2、數(shù)表.1結(jié)束9.1.1基本知識(shí)復(fù)習(xí)一階常微方程的初值問(wèn)題：?y??f(x,y)a?x?b(1)?y(a)?y(2)?0其中f(x,y)是已知函數(shù)，(2)是定解條件，常微分方程的理論指出：當(dāng)f(x,y)定義在區(qū)域G=(a≤x≤b,｜y｜＜∞)，若存在正的常數(shù)L，使：｜f(x,y1)–f(x,y2)｜≤L｜y1-y2
3、對(duì)任意的x∈[a,b]和任意的y,y成立，則稱f(x,y)對(duì)y滿足李普12希茲(Lipschitz)條件,L稱李普希茲常數(shù).若f(x,y)在區(qū)域G連續(xù)，關(guān)于y滿足李普希茲條件，則上述一階常微分方程的初值問(wèn)題
4、的解存在且唯一.我們以下的討論，都在滿足上述條件下進(jìn)行.2結(jié)束9.1.2一階常微分方程組和高階常微分方程一階常微分方程組常表述為：?y1??f1(x,y1,?,ym)?????y?m?fm(x,y1,?,ym)?(a?x?b)y(a)???11????y(a)???mm寫成向量形式為?y??f(x,y)a?x?b?Ty(a)?y,y?(?,?,?)?001m3結(jié)束還有高階常微分方程定解問(wèn)題，如二階定解問(wèn)題：?y???f(x,y,y?)??y?(a)????y(a)??可化作一階常微方程組的定解問(wèn)題：?y??u(x,y
5、)??u??f(x,y,u)??y(a)??,u(a)??本章著重討論一階常微方程初值問(wèn)題的各種數(shù)值解法.這些解法都可以寫成向量形式而用于一階常微分方程組的初值問(wèn)題.這樣，也就解決了高階方程的定解問(wèn)題.4結(jié)束§9.2歐拉(Euler)方法對(duì)問(wèn)題?y??f(x,y)a?x?b(9.1)?y(a)?y(9.2)?0最簡(jiǎn)單而直觀的方法是歐拉方法.歐拉方法在精度要求不高時(shí)，仍不失為一實(shí)用方法.同時(shí)通過(guò)歐拉方法的討論，容易弄清常微方程初值問(wèn)題數(shù)值解法的一些基本概念和構(gòu)造方法的思路.9.2.1歐拉方法的導(dǎo)出把區(qū)間［a,b］分為n
6、個(gè)小區(qū)間，取步長(zhǎng)h=(b-a)/n，節(jié)點(diǎn)x=x+ih,i=0,1,2,…，n，其中x=a，又設(shè)y(x)為上述問(wèn)題的解.i005結(jié)束把(9.1)式兩端積分，積分區(qū)間?。踴,x］ii+1xi?1xi?1y?dx?f(x,y)dx?y(x)?y(x)(9.3)??i?1ixixi記g(x)=f(x,y(x))對(duì)(9.3)用左矩形公式(8.3)bg?(?)2?g(x)dx?(b?a)g(a)?(b?a)2a得到：y(xi?1)?y(xi)?hf(xi,y(xi))?Riy??(?)2R?h??(x,x)i?0,1,?,n?1
7、.iii?12舍去R，并令y=y(x),得到：iiiy?y?hf(x,y)i?0,1,?,n?1(9.4)i?1iii這就是歐拉公式.6結(jié)束歐拉公式還可由泰勒展開(kāi)得到.假定y(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，把y(xi+1)在xi點(diǎn)展開(kāi)：y??(?)2y(x)?y(x)?y?(x)h?hi?1ii2!舍去h2項(xiàng)，并令y=y(x)，注意到y(tǒng)’(x)=f(x,y),也得到iiiiiy?y?hf(x,y)i?0,1,?,n?1(9.4)i?1iii歐拉公式有明顯的幾何意義，如圖9.1，過(guò)點(diǎn)(x,y)的曲線是解00y(x).歐拉方法是在(
8、x,y)作y(x)的切線，它與直線x=x交于001(x1,y1)，過(guò)(x1,y1)作過(guò)此點(diǎn)的積分曲線的切線，又與x=x2交于(x,y)，…如此下去，得到一條折線，歐拉方法就是用這條折22線近似地代替曲線y(x)，故歐拉方法有時(shí)也稱歐拉折線法.9.2.2歐拉隱式公式和歐拉中點(diǎn)公式對(duì)(9.3)式的右端用右矩形公式代替積分，可得到7結(jié)束2hy(x)?y(x)?hf(x,y(x))?y??(?)??(x,x)i?1ii?1i?1ii?12推出：y?y?hf(x,y)i?0,1,?,n?1,(9.5)i?1ii?1i?1不難看
9、出，(9.5)式中公式兩端都含有y,一般情況不能由y的值i+1i計(jì)算y,而需要解方程，故稱為歐拉隱式公式.i+1把(9.3)式積分區(qū)間改為[x,x]，并對(duì)右端用中矩形公式代替i-1i+1積分，可得到：3hy(x)?y(x)?2hf(x,y(x))?y???(?)??(x,x)i?1i?1iiii?13推出：y?y?2hf(x,y)i?1,2,?
