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《數(shù)值分析第九講(2)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、§9.3龍格-庫塔(Runge-Kutta)法歐拉方法是顯式的一步法,使用方便,但精度較低.本節(jié)將構造出高精度的顯式一步法：龍格-庫塔法,簡稱R-K法.9.3.1二階R-K法歐拉法的公式為：y=y+hf(x,y)i=0,1,2,…,n-1i+1iii決定其精度的是函數(shù)f(x,y).如能改進這個函數(shù),就可能提高公ii式的精度.為此把公式改寫成：y=y+h?(x,y,h)i=0,1,2,…,n-1(9.10)i+1iii選擇函數(shù)?(x,y,h),一種方法是用若干個點的函數(shù)值的線性組ii合代替?(x,y,h),如：ii1結束p???(xi,yi,h)??cjKj
2、?j?1?K1?f(xi,yi)?j?1?Kj?f(xi?ajh,yi?h?bjlKl)j?2,3,?,p?l?1其中c,a,b是待定參數(shù),a和b滿足jjjljjlj?1aj??bjlj?2,3,?,pl?1以上方法稱為p級R-K法,選擇c,a和b,可能使以上方法為p階jjjl方法.顯然歐拉法就是一階R-K法.2結束二級R-K法的形式是:?yi?1?yi?h?c1K1?c2K2???K1?f(xi,yi)?K?f(x?ah,y?ahK)?2i2i21此時?(x,y,h)?cf(x,y(x))?cf(x?ah,y(x)?ahf(x,y(x)))ii1ii2i
3、2i2ii?cy?(x)?cf(x?ah,y(x)?ahy?(x))(9.11)1i2i2i2i由二元函數(shù)的泰勒展開：f(x?ah,y(x)?ahy?(x))i2i2i2?f(x,y(x))?ahf??ahy?(x)f??O(h)ii2x2iy其中所有的偏導數(shù)都是它們在點(x,y(x))的值,下同ii3結束又由于：y?(x)?f(x,y(x))y??(x)?f??f?y?(x)xy所以2f(x?ah,y(x)?ahy?(x))?y?(x)?ahy??(x)?O(h)i2i2ii2i代入(9.11)??2?(x,y,h)?c?cy?(x)?ahy??(x)?
4、O(h)ii12i2i代入(9.10)??23y?y(x)?c?chy?(x)?achy??(x)?O(h)i?1i12i22i而Taylor展開式2h3y(x)?y(x)?hy?(x)?y??(x)?O(h)i?1iii24結束二式相減,得局部截斷誤差R?y(x)?yi?1i?1i?1???1?23?1?c1?c2hy?(xi)???a2c2?hy??(xi)?O(h)?2?1令1?c?c?0,?ac?0得:12222?c1?c2?1??1ac???222只要c,c,a滿足以上方程,就得到一個二階的R-K法.122這是一個不定方程,有無窮多解.比如：5結
5、束(1)取c=c=1/2,a=1得122?hy?y??K?K??i?1i12?2?K1?f(xi,yi)(9.12)?K?f(x?h,y?hK)?2ii1?這實際上是(9.9)公式,即梯形公式的預估-校正公式只迭代一次的形式,通常稱為改進的歐拉法.(2)取c=0,c=1,a=1/2得:?122?y?y?hKi?1i2??K1?f(xi,yi)(9.13)??hh??K2?f?xi?,yi?K1???22?這公式又稱中點公式.我們還可以構造其他的二階R-K法.6結束9.3.2四階R-K法用類似的方法可以確定三級和四級R-K法的參數(shù),構造出三階和四階的R-K法
6、.但最常用的是四階R-K法,四階R-K法也不只一個,下面給出的是最常用的四階經(jīng)典的R-K公式：?hy?y??K?2K?2K?K??i?1i12346?K?f(x,y)?1ii??hh??K2?f?xi?,yi?K1?i?0,1,2,?,n?1(9.14)?22????hh??K3?f?xi?,yi?K2??22??K?f?x?h,y?hK??4ii37結束例3用經(jīng)典的四階R-K法計算例2題目,取步長為0.2,且與準確值比較.計算結果列入表9-3：可見即使用h=0.2計算,也比一階和二階方法精度好得多8結束§9.4線性多步法單步法只利用前一步的結果,只要給出
7、初值,就能開始計算,但也因為它只利用前一步的值,為了提高精度就要計算一些非結點處的函數(shù)值,增加了計算量.R-K法就是通過這一途徑提高精度的.下面介紹的線性多步法,在求y時,不僅用到y(tǒng)的值,還用到前若干步的i+1iy,…,y的值,這些值都是已知的,因此可在計算量增加不多的情況i-1i-k下提高精度.9.4.1用待定系數(shù)法構造線性多步法線性多步法的一般形式是：?y??y????y?h??f??f????f?0i1i?1ki?k0i1i?1ki?k或寫為：kk??jyi?j?h??jfi?j,i?0,1,2,?,n?k.(9.15)j?0j?09結束其中α,β(
8、j=0,1,…,k)都是實常數(shù),且α≠0,｜α｜+｜β｜≠0,jj
