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《數(shù)值分析第六講(2)new》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第三節(jié)牛頓插值拉格朗日插值法最大的弱點(diǎn)是,當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加后,所有的插值基函數(shù)都要重新構(gòu)造,增加節(jié)點(diǎn)前的所有計(jì)算結(jié)果將毫無作用,造成計(jì)算的浪費(fèi).牛頓插值卻克服了此弱點(diǎn).一差商1差商概念設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,xi,xj?[a,b],且xi≠xj,則稱f(x)?f(x)ijf(x,x)?ijx?xij為f(x)在x,x的一階差商。設(shè)f(x,x)與f(x,x)為f(x)在點(diǎn)x,xijijjkij與點(diǎn)x,x的一階差商,則稱jk1結(jié)束f(x,x)?f(x,x)ijjkf(x,x,x)?(x?x)ijkikx?xik為f(x)在x,x,x的二階差商。ijk設(shè)f(x0,x1,?,xk-1)
2、與f(x1,x2,?,xk)為f(x)在點(diǎn)x0,x1,?,xk-1與點(diǎn)x,x,?,x的k-1階差商,則稱12kf(x,x,?,x)?f(x,x,?,x)01k?112kf(x,x,?,x)?(x?x)01k0kx?x0k為f(x)在點(diǎn)x,x,?,x的k階差商。01k2差商的基本性質(zhì)(1)n次多項(xiàng)式的k階差商,當(dāng)k?n時,為一個n-k次多項(xiàng)式,而當(dāng)k>n時恒為零。2結(jié)束(2)差商可以表示為節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的線性組合：k1f(x0,x1,?,xk)??f(xi)i?0??(xi)其中?′(x)=(x-x)?(x-x)(x-x)?(x-x)ii0ii-1ii+1ik例如一階差商f(xi)?f(xj
3、)f(xi)f(xj)f(x,x)???ijx?xx?xx?xijijji3結(jié)束二階差商f(x,x)?f(x,x)ijjkf(x,x,x)?ijkx?xikf(xi)f(xj)??f(xj)f(xk)?????x?xx?x?x?xx?x?ijji?jkkj??x?xikf(xi)f(xj)??11??f(xk)????(x?x)(x?x)x?x?x?xx?x?(x?x)(x?x)ikijik?jijk?kikjf(xi)f(xj)f(xk)???(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)ikijjijkkikj4結(jié)束(3)差商關(guān)于節(jié)點(diǎn)對稱,與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)。例如一階
4、差商f(x)?f(x)f(x)?f(x)ijjif(x,x)???f(x,x)ijjix?xx?xijji類似地f(x,x,x)?f(x,x,x)?f(x,x,x)ijkikjjik?f(x,x,x)?f(x,x,x)?f(x,x,x)jkikijkji(4)若f(x)在含x,x,?,x的區(qū)間D上k階可導(dǎo)。則至01k少存在一點(diǎn)??D,使得(k)f(?)f(x,x,?,x)?01kk!3差商表點(diǎn)x,x,x,x,?,的所有差商可以列成如下的一張差0123商表:5結(jié)束xif(xi)一階差商二階差商三階差商…x0f(x)0f(x,x)01x1f(x)f(x,x,x)1012f(x,x)f(x,x
5、,x,x)x1201232f(x)f(x,x,x)?2123f(x,x)?x3f(x)23?3?┇?二牛頓插值公式設(shè)x,x,?,x為插值節(jié)點(diǎn),x為插值區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn),以01nx,x,x,?,x為節(jié)點(diǎn),依次作一階、二階,?,n+1階差商,可得01n6結(jié)束f(x)?f(x)0f(x,x)??f(x)?f(x)?(x?x)f(x,x)0000x?x0f(x,x)?f(x,x)001f(x,x,x)?01x?x1?f(x,x)?f(x,x)?(x?x)f(x,x,x)001101f(x,x,x)?f(x,x,x)01012f(x,x,x,x)?012x?x2?f(x,x,x)?f(x,x,x)?
6、(x?x)f(x,x,x,x)010122012?????????f(x,x,?,x)?f(x,x,?,x)0n?101nf(x,x,?,x)?0nx?xn?f(x,x,?,x)?f(x,x,?,x)?(x?x)f(x,x,x,?,x)0n?101nn01n7結(jié)束依次將后式代入前式得f(x)?f(x)?(x?x)f(x,x)??0001?(x?x)?(x?x)f(x,x,?,x)0n?101n??(x)f(x,x,x,?,x)01n其中?(x)=(x-x)(x-x)?(x-x)01n8結(jié)束記Nn(x)?f(x0)?(x?x0)f(x0,x1)???(x?x)?(x?x)f(x,x,?,x
7、)0n?101nR(x)??(x)f(x,x,x,?,x)n01nf(x)?N(x)?R(x)則nn其中n次多項(xiàng)式N(x)稱為n次牛頓插值多項(xiàng)式,R(x)稱為插nn值余項(xiàng)?！逺n(xi)??(xi)f(xi,x0,x1,?,xn)?0(i?0,1,2,?,n)∴有Nn(xi)?f(xi)由于插值多項(xiàng)式的唯一性,牛頓插值多項(xiàng)式與拉格朗日插值多項(xiàng)式應(yīng)該是同一多項(xiàng)式,只是寫法不同而已。所以其余項(xiàng)也應(yīng)該相等,即9結(jié)束(n?1)f(?)?(x
