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《數(shù)值分析第八講(2)new》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§8.3復(fù)化求積公式從求積公式的余項的討論中我們看到，被積函數(shù)所用的插值多項式次數(shù)越高，對函數(shù)光滑性的要求也越高.另一方面，插值節(jié)點(diǎn)的增多(n的增大)，在使用牛頓-柯特斯公式時將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)(當(dāng)n≥8時,牛頓.柯特斯求積系數(shù)會出現(xiàn)負(fù)數(shù))因而在實際應(yīng)用中往往采用將積分區(qū)間劃分成若干個小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次的求積公式(梯形公式或拋物形公式)，然后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來，便得到新的求積公式，這就是復(fù)化求積公式的基本思想.為敘述方便，我們僅討論各小區(qū)間均采用同一低次的求積公，也可推出新的求積公式，讀者可按實際問題的具
2、體情況討論1結(jié)束8.3.1.復(fù)化梯形公式用n+1個分點(diǎn)將區(qū)間[a，b]n等分。每個區(qū)間長b?ah?,n?1個分點(diǎn)x?a?kh,k?0,1,2,?,nknn?1bxk?1則?f(x)dx???f(x)dxaxkk?0在[x，x]上用梯形公式，則kk+1n?1n?1bx?xk?1k???f(x)dx??f(xk?1)?f(xk)??Rk[f]a2k?0k?0n?1n?1h????f(a)?f(b)?2?f(xk)???Rk[f](8.18)2?k?1?k?0n?1h??記Tn??f(a)?f(b)?2?f(xk)?(8.19)2?k?1?T叫做復(fù)
3、化梯形求積公式，下標(biāo)n表示將積分區(qū)間等分的份數(shù).n2結(jié)束從公式的特點(diǎn)可以看出，內(nèi)節(jié)點(diǎn)x(k=1,2,…n-1)作為小區(qū)間的端k點(diǎn)參與前、后兩個小區(qū)間的計算，因而系數(shù)為2，端點(diǎn)a與b只參與一次計算，系數(shù)為1.如果在T的基礎(chǔ)上，將各小區(qū)間對分，這時節(jié)點(diǎn)數(shù)為2n+1，分n段數(shù)為2n.記新的分點(diǎn)的函數(shù)值的和為σ，則T應(yīng)為原內(nèi)節(jié)n2n點(diǎn)與新增節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的和的兩倍，加上兩端點(diǎn)a,b的函數(shù)值之和再乘上新區(qū)間長度的一半，即?n?1nh??T2n??f(a)?f(b)?2?f(x2i)?2?f(x2i?1)?2?i?1i?1?n?1n1h?????f(a)?f
4、(b)?2?f(x2i)?2?f(x2i?1)?22?i?1i?1?1?(T?h?)(8.20)nn21或?qū)憺門?T?h??(8.21)2nnn2這里h??h,為對分新區(qū)間的長度.23結(jié)束從這一公式可以看出，將區(qū)間對分后，原復(fù)化梯形公式的值Tn作為一個整體保留.只需計算出新分點(diǎn)的函數(shù)值，便可得出對分后的積分值，不需重復(fù)計算原節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，從而減少了計算量.定理8.3設(shè)f(x)∈C2[a,b]，復(fù)化梯形公式的截斷誤差b?a2??R[T]??hf??ξξ?[a,b]n12(證明)這一復(fù)化梯形求積公式的余項在形式上與(8.13)式相同，不同的是，這
5、里的h=(b-a)/n，而(8.13)式中的h=b-a.利用復(fù)化求積公式的余項，我們可以估計出在滿足精度的要求下，應(yīng)將積分區(qū)間等分多少份，即n取多少.這種誤差估計方法稱為事前誤差估計.如例8.34結(jié)束1例3利用復(fù)化梯形公式計算sinxI??dxx0使其誤差限為10-4，應(yīng)將區(qū)間［0,1］幾等分?1sinx解:因為被積函數(shù)f(x)???costxdtx01k1(k)?d???k?k???f(x)?costxdt?tcos?tx??dtk0dx0?2?11(k)k?k??k1?f(x)??tcos?tx??dt??tdt?.0?2?0k?11?0
6、212112?4?R[T]??hf??(?)?h??h?10.n12122?136?2112?h?6?10,?n???10.h6取n=17可滿足要求.5結(jié)束另一方法是利用公式前后兩次計算結(jié)果的差來估計誤差的，即用｜T-T｜＜ε,這是因為2nnbb?a2f(x)dx?T??hf???ξ??n12ab2b?a?h??f(x)dx?T2n????f?????a12?2?b?a2?1??T?T??hf??????f?????2nn??12?4?當(dāng)f″(x)在[a,b]上連續(xù)，并且假定當(dāng)n充分大時有f″(ξ)≈f″(η)，則2b?a?h??T2n?Tn
7、?????3f?????12?2?b???3??f(x)dx?T2n??3R[T2n].?a?6結(jié)束1即R[T]??T?T?2n2nn3因此當(dāng)｜T-T｜＜ε時，可認(rèn)為2nn1R[T]????2n3這種誤差估計方法通常叫做事后誤差估計，在計算機(jī)上用來控制計算精度常用這一方法，有的也把這種方法叫做步長的自動選取或逐次對分的方法.7結(jié)束8.3.2復(fù)化拋物形公式將積分區(qū)間[a,b]2m等分，n=2m，節(jié)點(diǎn)為x=a+kh(k=0,1,2,…,2m)k，h=(b-a)/2m.在每兩個小區(qū)間［x,x］(k=0,1,2,…,m-1)上用2k2k+2拋物形公式
8、，則有:bm?1x2k?2?f(x)dx???f(x)dxak?0x2km?1m?1h???f(x2k)?4f(x2k?1)?f(x2k?2)???Rk[f]k?0
