3、2′?xx22′?yx′?=2(yqx)?=()eyq()xe?=()xeq()xe222?xx?2??()12xeq=(x)e?=qx()1?2x2x方程的通解是yc=e+x.譚澤光編www.tsinghuatutor.com清華大學(xué)東門外創(chuàng)業(yè)大廈1006電話627960322006．9．12水木艾迪考研輔導(dǎo)班資料------微積分技巧班教務(wù)電話：62701055x2xx?xx2x?x例3．已知函數(shù)y=xe+e，y=xe+e，y=xe+e?e是某二階線性常系123x數(shù)非齊次微分方程的三個(gè)解，則此微分方程為_
4、___。y′′?y′?2y=(1?2x)e。?x2x解:根據(jù)線性非齊次微分方程的解的疊加原理，知y?y=e和2y?y?y=e13123是所求微分方程對應(yīng)的二階線性常系數(shù)齊次微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解，所以齊次方程的特()2征方程為：()λ+1λ?2=λ?λ?2=0，即得齊次方程為y′′?y′?2y=0。設(shè)所求微x2x分方程為y′′?y′?2y=f(x)，將y=xe+e代入得1()()xxfx=1?2xe，故所求微分方程為y′′?y′?2y=(1?2x)e。例4若二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域是y1D={}(x
5、,y)0≤x≤1,0≤y≤x,則復(fù)合函數(shù)D4D2D3w()x,y=f(x+y,x?y)的定義域是下圖中(C)D1(A)D∪D(B)D∪D(C)D(D)D13121021x解：w()x,y=f(x+y,x?y)的定義域是:??01≤+xy≤??≤?01xy+≤????Dx=??(,y)?=?(,xy)??0≤x?y???0≤?xyx≤+y????0≤y??22)例5設(shè)f()x,y=x+y?()x,y，?(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，則f(x,y)在點(diǎn)(0,0處可微的充要條件是(C).(A)?(x,y)在點(diǎn)(0
6、,0)處可微(B)?(x,y)在點(diǎn)(0,0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在(C)?()0,0=0(C)?(x,y)在點(diǎn)(0,0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)例6．設(shè)f(x,y,z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，又設(shè)在約束條件x?2y?2z=10下函數(shù)f(x,y,z)條?f件最大極為f(M0)，又設(shè)在點(diǎn)M0處=?2，則曲面f(x,y,z)=f(M0)在點(diǎn)M0處的?x與軸夾銳角的一個(gè)法向量為（C）。A.(1,?2,?2)B.(?2,1,1)C.(?2,4,4)D.(?1,?2,2)譚澤光編www.tsinghuatutor.com清華大學(xué)東門外創(chuàng)業(yè)大廈
7、1006電話627960322006．9．12水木艾迪考研輔導(dǎo)班資料------微積分技巧班教務(wù)電話：62701055?fM′()+=λ0x0??Maxf(,xy,z)?fMy′()0?=2λ0解：????st..x??2y2z?10=0fM′()?=2λ0?z0??xy?22??z10=0?=()fMxy′′()00,f(M),fz′()M0λ(1,?2,?2).2?FF??FF?例7．己知?()x,y∈R,函數(shù)Fx(,y)滿足條件yx+=0，?≠0,,設(shè)曲??xy??xy線L由方程Fx(),,y=F(xy
8、)確定,x,y是給定的不相等常數(shù)，則L是（B）.0000(A)過原點(diǎn)和(x,y)點(diǎn)的直線(B)過(x,y)點(diǎn)的橢圓0000(C)過(x,y)點(diǎn)的雙曲線(D)過(x,y)點(diǎn)的拋物線0000??FFFxx′dyFx′(xy,)解：yx+=0??=;Fx(,,y)=F(xy)?=?.00??xyFyy′dxFy′()x,y?dyx?=?xdx?ydy=02222曲線L滿足微分方程??dxy???xyx=?
