2、等式<<。22a+bb?aab[證]先證左側(cè)不等式。令g(0x)=lnx(x>a>)，在區(qū)間[a.b]上用Lagrange中值定理，?ξ∈(a,b)，使得lnb?lna112ab2a=(lnx)′=>>=，b?ax=ξξbb(a2+b2)a2+b22alnb?lna因此得到<。22a+bb?a22注：以上用到了基本不等式a+b>2ab?；颍喝∪缦螺o助函數(shù)，再利用增減性：22F(0x)=(x+a)(lnx?lna)?2a(x?a)(x>a>)，為證右邊不等式，x?a令f(0x)=lnx?lna?(x≥a>)，f(a)=0（初值）ax2111a(x?a)f′(x)=?lna?(+)=<0，xa2
3、x2xx2xaxb?a于是f(x)<0，令x=b，f(b)=lnb?lna?0，級數(shù)∑an收斂，則級數(shù)∑[]。n=1n=1n（A）絕對收斂，（B）條件收斂，（C）發(fā)散，（D）不定。n?1∞(?1)an1211[解]注意到≤(an+2)，∑2收斂，n2nn=1n由級數(shù)運算性質(zhì)及正項級數(shù)比較法，該級數(shù)絕對收斂。問題2：在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)
4、習(xí)中沒有特別注意到極限的保號性，極限的這一性質(zhì)很重要嗎？解答與導(dǎo)引：是的，極限的保號性很重要。這一性質(zhì)除了對極限本身有重要的分析意義外，還是連續(xù)函數(shù)保號性，積分保號性與估值定理的理論基礎(chǔ)，因此應(yīng)重極限定義本身加深對保號性（保序性）的理解。例2．1假設(shè)存在N，使n>N時恒有x>y，已知limx=A與limy=B存在，則正nnnnn→∞n→∞確的是（）（A）A≥B（B）A≠B（C）A>B（D）A和B的關(guān)系不定解令a=x?y，則有a>0(n>N)，因此lima=lim(x?y)=A?B≥0。nnnnnnnn→∞n→∞故應(yīng)選（A）.可以有A=B的情形，因此（B）（C）均不正確。例2．2設(shè)f(x)在[
5、?1,1]有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f′(0)=0，xf′′(x)lim=1，則（B）。x→01?cosx(A)f(0)是f(x)的極大值。(B)f(0)是f(x)的極小值。(C)(0,f(0))是曲線y=f(x)的拐點。(D)x=0不是f(x)的極值點，(0,f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點。xf′′(x)【解】由lim=1，則可知f′′(0)=0，但不足以說明(0,f(0))為拐點。x→01?cosx根據(jù)極限的保序性知道，在x的某鄰域內(nèi)，必有f′′(x)>0，即知f′(x)在該0鄰域內(nèi)為單調(diào)增加，又因為f(0)=0，于是知道f′(x)在x=0兩側(cè)變號，即f(x)改變增減性，且當(dāng)x通過x而變
6、大時，f(x)由遞減變?yōu)檫f增，于是可以斷定x=00劉坤林編www.tsinghuatutor.com2清華大學(xué)東門外創(chuàng)業(yè)大廈1006電話627960322006．9．12水木艾迪考研輔導(dǎo)班資料------微積分技巧班教務(wù)電話：62701055為f(x)的極小值點。即只有選項(B)正確。2xt例2．3極限limdt=（）。x→+∞∫x1+et1（A）1.（B）0.（C）.（D）不存在。2x[解]答案為（B）。由初等函數(shù)（e,x）性質(zhì)，?X>0，使當(dāng)t2xx>X>0，且t∈[x,2x]時，有0<<，由積分保序性tx1+e1+e2xt2x2xx2x及比較性質(zhì)得到07、x∫x1+ex2xt應(yīng)用夾逼定理，得到limdt=0。x→+∞∫x1+et例2.4設(shè)fx()在x=a的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù),，且fa()為其極大值,則存在δ>0,當(dāng)xa∈?(,δa+δ)時,必有（C）。(A)()xa?[f(x)?f(a)]≥0.(B)()xa?[f(x)?f(a)]≤0.f(t)?f(x)f(t)?f(x)(C)lim>0(x≠a).(D)lim<0(x≠a).t→a(t?x)2t→a(t?x)2例
