新課標(biāo)三維人教b版數(shù)學(xué)選修柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系

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1、_1.5柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1．5.1柱坐標(biāo)系[讀教材·填要點(diǎn)]1．柱坐標(biāo)系的概念設(shè)空間中一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，M點(diǎn)在xOy坐標(biāo)面上的投影點(diǎn)為M0，M0點(diǎn)在xOy平面上的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則三個(gè)有序數(shù)ρ，θ，z構(gòu)成的數(shù)組(ρ，θ，z)稱為空間中點(diǎn)M的柱坐標(biāo)．在柱坐標(biāo)中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z為任意實(shí)數(shù)．2．直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化空間點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x，y，z)與柱坐標(biāo)(ρ，θ，z)之間的變換公式為[小問題·大思維]1．柱坐標(biāo)與平面上的極坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？提示：柱坐標(biāo)就是平面上的極坐標(biāo)加上與平面垂

2、直的一個(gè)直角坐標(biāo)．2．在極坐標(biāo)中，方程ρ＝ρ0(ρ0為正常數(shù))表示圓心在極點(diǎn)，半徑為ρ0的圓，方程θ＝θ0(θ0為常數(shù))表示與極軸成θ0角的射線．那么，在柱坐標(biāo)系中，上述方程又分別表示什么圖形？提示：在空間的柱坐標(biāo)系中，方程ρ＝ρ0表示中心軸為z軸，底半徑為ρ029/29的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動(dòng)而成的．方程θ＝θ0表示與zOx坐標(biāo)面成θ0角的半平面．將直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)[例1]　已知空間點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(4，4,3)，求它的柱坐標(biāo)．[思路點(diǎn)撥]　本題主要考查將直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)的方法．解答此題需要明

3、確各坐標(biāo)的意義，然后將其代入相應(yīng)公式即可解決．[精解詳析]　由公式得ρ2＝x2＋y2，z＝3.∴ρ2＝(4)2＋(4)2＝48＋16＝64.∴ρ＝8.tanθ＝＝＝，又x>0，y>0，點(diǎn)在第一象限，∴θ＝.∴點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)，確定它的柱坐標(biāo)的關(guān)鍵是確定ρ和θ，尤其是θ.要注意求出tanθ，還要根據(jù)點(diǎn)M所在的象限確定θ的值(θ的范圍是[0,2π))．29/291．點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(，1，－2)，則它的柱坐標(biāo)為(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.解析：選C　∵ρ＝＝2，tanθ＝＝，∴點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為

4、.將柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)[例2]　已知點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為，求它的直角坐標(biāo)．[思路點(diǎn)撥]　本題考查柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化．解答本題只要將已知點(diǎn)的柱坐標(biāo)代入相應(yīng)的公式即可．[精解詳析]　∵M(jìn)點(diǎn)的柱坐標(biāo)為，∴ρ＝8，θ＝.由公式得即∴M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(4，4,4)．29/29已知柱坐標(biāo)，求直角坐標(biāo)直接利用變換公式即可．2．已知點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(，，1)，求M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的柱坐標(biāo)．解：M的直角坐標(biāo)為∴M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－1，－1，－1)．ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝.tanθ＝＝1，又x＜0，y＜

5、0，∴θ＝.∴其柱坐標(biāo)為.∴M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的柱坐標(biāo)為.柱坐標(biāo)系的應(yīng)用[例3]　給定一個(gè)底面半徑為2，高為2的圓柱，建立柱坐標(biāo)系，利用柱坐標(biāo)系描述圓柱側(cè)面以及底面上點(diǎn)的坐標(biāo)．[思路點(diǎn)撥]　本題考查柱坐標(biāo)系的建法以及柱坐標(biāo)的確定方法．解答本題需要建立恰當(dāng)?shù)闹鴺?biāo)系，然后根據(jù)柱坐標(biāo)的定義解決相關(guān)問題．[精解詳析]　以圓柱底面圓的圓心為原點(diǎn)，取兩條互相垂直的直線為x軸，y29/29軸，以向上的中軸線為z軸正方向建立柱坐標(biāo)系．下底面上的點(diǎn)的柱坐標(biāo)滿足(ρ1，θ1,0)，其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π.上底面上的點(diǎn)的柱

6、坐標(biāo)滿足(ρ2，θ2,2)，其中0≤ρ2≤2，0≤θ2＜2π.側(cè)面上的點(diǎn)的柱坐標(biāo)滿足(2，θ3，z)，其中0≤θ3＜2π，0≤z≤2.(1)柱坐標(biāo)系是由平面極坐標(biāo)系及空間直角坐標(biāo)系中的一部分建立起來的．(2)解決此類問題的關(guān)鍵是找出這些點(diǎn)所具有的共性和變化的特征．3．一個(gè)圓形體育館，自正東方向起，按逆時(shí)針方向等分為十六個(gè)扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，…，十六區(qū)，我們?cè)O(shè)圓形體育場第一排與體育館中心的距離為200m，每相鄰兩排的間距為1m，每層看臺(tái)的高度為0.7m，現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置A，請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)

7、系．求點(diǎn)A的柱坐標(biāo)．解：以圓形體育場中心O為極點(diǎn)，選取以O(shè)為端點(diǎn)且過正東入口的射線Ox為極軸，在地面上建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)A與體育場中軸線Oz的距離為203m，極軸Ox按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度為2.8m，因此我們可以用柱坐標(biāo)來表示點(diǎn)A的準(zhǔn)確位置．∴點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為.29/29一、選擇題1．點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為(　　)A．(5,8,8)　　　　　　B．(8,8，5)C．(8，8,5)D．(4,8，5)解析：選B　由公式得即M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(8,8，5)．2．已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)

8、為(3,3,3)，則它的柱坐標(biāo)為(　　)A.B.C.D.解析：選A　由公式得∴ρ2＝32＋32＝18.∴ρ＝3.∴cosθ＝，sinθ＝.又∵θ∈[0,2π)，∴θ＝.∴M點(diǎn)的柱坐標(biāo)為.3．在柱坐標(biāo)系中，方程ρ＝2表示空間中的(　　)A．以x軸為中心軸，底半徑為2的圓柱面29/29B．以y軸為中心軸，底半徑為2的圓柱面C．以z軸為中心軸，底半徑為2的圓柱面D