一類非線性微分方程的脈沖鎮(zhèn)定

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1、高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯Appl.Math.J.ChineseUniv.Ser.A2003,18(4):408-416一類非線性微分方程的脈沖鎮(zhèn)定李想’，翁佩董20.南京審計(jì)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，江蘇南京21002叭2.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東廣州510631)摘要:針對(duì)一般形式的常微分系統(tǒng)提出了脈沖指數(shù)鎮(zhèn)定的概念.具體研究了一類分離變量型非線性常微分方程的脈沖鎮(zhèn)定問題，得到了該方程可脈沖指數(shù)鎮(zhèn)定的充分判據(jù).全文的概念及結(jié)論突出了脈沖在方程穩(wěn)定性方面的拉制效果.關(guān)鍵詞:脈沖微分方程;鎮(zhèn)定;脈沖指數(shù)鎮(zhèn)定中圖分類號(hào):0工75文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1000-4424(2003)04-0408-09

2、圣1引言對(duì)脈沖常微分方程的穩(wěn)定性問題的研究，已有不少成果.有一些文章從控制論的角度出發(fā)，著重研究了脈沖對(duì)方程穩(wěn)定狀態(tài)的改變，如仁1-7].其中所考察的方程模型大多在沒有脈沖時(shí)是穩(wěn)定的，經(jīng)過脈沖作用后原系統(tǒng)變?yōu)槟撤N程度的漸近穩(wěn)定，而討論脈沖對(duì)原本不穩(wěn)定的系統(tǒng)的控制效果的文章則很少，并且多數(shù)僅針對(duì)低階線性系統(tǒng)，如仁1,2,4].文「1〕針對(duì)二階微分方程z"(0+p(t)二((t)=。提出了“可脈沖指數(shù)鎮(zhèn)定”的概念，指出只要方程系數(shù)p(t)連續(xù)，則能找到明確的脈沖控制，使得此方程加上脈沖后其零解變?yōu)橹笖?shù)漸近穩(wěn)定.文[3〕則將上述結(jié)果推廣到了線性常微分方程組本文首先對(duì)一般的常微分系統(tǒng)提出脈沖

3、指數(shù)鎮(zhèn)定的概念，然后考察了一類n階非線性微分方程的脈沖鎮(zhèn)定條件，后面我們將看到，本文提出的概念及得到的相關(guān)結(jié)論均突出了脈沖的顯著控制效果.所給出的實(shí)例推廣了文[2」的例1.最后我們通過計(jì)算機(jī)作圖模擬了一種特殊情形下的脈沖鎮(zhèn)定過程.下面我們給出考察模型及相關(guān)概念.考察方程組:叉(t)=F(t,X(0)，!妻to,(1)和相應(yīng)的帶脈沖的微分系統(tǒng):收稿日期2002-07-0基金項(xiàng)目:廣東省自然科學(xué)基金(011471);廣東省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目(0120)萬(wàn)方數(shù)據(jù)李想等:一類非線性微分方程的脈沖鎮(zhèn)定409牙X(t，一F(t,X(t))，‘妻‘。，‘共‘*，(2)(X(t,)一Ik(X(t

4、R)).其中，(H,)X(t)一(XI(t),._.,s"(t))T:[to,+。)->R",(H,)F(t,X)=(f,(t,X),五(t,X))下:Cto,+-,)XR"-R"，連續(xù)，且F(t,0)=0壘(0,..一.，())T;(H,)序列{t,),kCN滿足to

5、函數(shù)X:巨o,t。十a(chǎn))-"R",ate。為方程(2)在〔to,to+a)上的解，若滿足以下條件:(i)X(t)在「t=,to+-)Vtk,kCN}上連續(xù);(ii)X(t)在〔to,to+a)Itk,kGN}上滿足(2)第一式，X(1)含義同(Hs);(iii)X(t)在‘,,kEN處左右極限均存在且右連續(xù)，X(t,)滿足(2)第二式，定義2稱向量函數(shù)X:[t,,to+a)-R",a>0為方程(2)從(to,Xo)出發(fā)在廠ta,ta+a)上的初值解，若滿足以下條件:(i)X(t)為(2)的解，即滿足定義1;(ii)X(t,)-X,，這里X}壘(,lo,...,S=o)TER"記(2

6、)從(to,Xo)出發(fā)的解為X(t;ta,X.).附注1有關(guān)脈沖微分方程組(2)的解的存在性，惟一性等基本問題可以參考文〔8].后面總假設(shè)方程(2)的解在〔，。，+二)上存在惟一下面給出有關(guān)方程(1)脈沖鎮(zhèn)定的幾個(gè)概念.定義3稱(1)為可脈沖指數(shù)鎮(zhèn)定的:如果存在a>0，和序列{t,}，以及R‘上的向量函數(shù)列{Ik)滿足(HO,(H,)，使得對(duì)任意e>0，存在6>0，當(dāng)(2)的解X(t;to,Xa)滿足:IX。一壘丫Xio+?十二三。0，和

7、序列{tk滿足(H,)且4-4-,=t(這里。>0為常值)，以及R”上的向量函數(shù)列{I,}滿足(H,)且有:I,(X)一···-I,(X)-一，k一1,2,---，使得對(duì)任意￡>0，存在S>0，當(dāng)((2)的解X(t;ta,Xo)滿足{X,Itu"可以看出定義3,4都是文「1〕中相關(guān)概念在常微分方程組中的推廣，下面我們考察了一萬(wàn)方數(shù)據(jù)410高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A樣第18卷第4期類n階非線性常微分方程的脈沖