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《高數(shù)同濟(jì)12.2常數(shù)項級數(shù)的審斂法》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§2.常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法?定義:如果級數(shù)?un中各項均有un?0，n?1這種級數(shù)稱為正項級數(shù).部分和數(shù)列{sn}為單調(diào)增加數(shù)列.sss????s123n正項級數(shù)收斂的充要條件:定理正項級數(shù)收斂?部分和數(shù)列{sn}有界一、正項級數(shù)及其審斂法??1.比較判別法設(shè)?un和?vn均為正項級數(shù)，n?1n?1??且un?vn(n?1,2,?)若?vn收斂,則?un收斂；n?1n?1??反之，若?un發(fā)散，則?vn發(fā)散.n?1n?1正項級數(shù)收斂?部分和所成的數(shù)列s有界.n?證明(1)設(shè)???v?un?vn,nn?1且s?uu
2、????u?v?v???v??,n12n12n?即部分和數(shù)列有界??un收斂.n?1正項級數(shù)收斂?部分和所成的數(shù)列s有界.n??1.比較判別法設(shè)?un和?vn均為正項級數(shù)，n?1n?1??且un?vn(n?1,2,?),若?vn收斂,則?un收斂；n?1n?1???反之，若?un發(fā)散，則?vn發(fā)散.?vn??n?1n?1n?1正項級數(shù)收斂?部分和所成的數(shù)列s有界.n?(2)設(shè)?un發(fā)散，有sn??()n??且un?vn,n?1?nn?s???n不是有界數(shù)列???v發(fā)散.定理證畢.nn?11.比較判別法??設(shè)?un和?vn均為正項級數(shù)
3、，n?1n?1??且un?vn(n?1,2,?),若?vn收斂,則?un收斂；n?1n?1??反之，若?un發(fā)散，則?vn發(fā)散.n?1n?1?推論:若?un收斂(發(fā)散)且n?1?vn?kun(n?N)(kun?vn)則?vn收斂(發(fā)散).n?1比較判別（審斂）法的不便:須有參考級數(shù).一、正項級數(shù)及其審斂法1.比較判別法??設(shè)?un和?vn均為正項級數(shù)，n?1n?1??且un?vn(n?1,2,?),若?vn收斂,則?un收斂；n?1n?1??反之，若?un發(fā)散，則?vn發(fā)散.n?1n?1例1討論P(yáng)-級數(shù)11111????????的收
4、斂性.(p?0)pppp234n11解設(shè)p?1,?p?,則P?級數(shù)發(fā)散.nn一、正項級數(shù)及其審斂法例1討論P(yáng)-級數(shù)11111????????的收斂性.(p?0)pppp234n11解設(shè)p?1,?p?,則P?級數(shù)發(fā)散.nn設(shè)p?1,y1ndx由圖可知S矩＝np??n?1xp＝S曲1y?(p?1)p111xsn?1?????ppp23nxo12342dxndx??1?p????pn?1n1xn?1x例1討論P(yáng)-級數(shù)11111????????的收斂性.(p?0)pppp234n11??,則P?級數(shù)發(fā)散.設(shè)p?1,npn1112dxndx設(shè)
5、p?1,sn?1????ppp???1?pp????23n11xxn?ndx111?1??p?1?(1?p?1)?1?1xp?1np?1即s有界,則P?級數(shù)收斂.n?p?1,收斂P-級數(shù)??p?1,發(fā)散重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))?n2n?aq?a?aq?aq???aq??(a?0)n?0??當(dāng)q?1時,收斂n的收斂性.?aq?n?0?當(dāng)q?1時,發(fā)散111例如調(diào)和級數(shù)1???????發(fā)散23n例1討論P(yáng)-級數(shù)11111????????的收斂性.(p?0)pppp234n?當(dāng)p?1時,收斂
6、?P?級數(shù)??當(dāng)p?1時,發(fā)散一、正項級數(shù)及其審斂法比較判別法的極限形式:??un設(shè)?u與?v都是正項級數(shù),如果lim?l,nnn??vn?1n?1n則(1)當(dāng)0?l???時,二級數(shù)有相同的斂散性??(2)當(dāng)l?0時，若?vn收斂,則?un收斂n?1n?1??(3)當(dāng)l???時,若?vn發(fā)散則?un發(fā)散;n?1n?1一、正項級數(shù)及其審斂法??un設(shè)?un與?vn都是正項級數(shù),如果lim?l,n??vn?1n?1n則(1)當(dāng)0?l???時,二級數(shù)有相同的斂散性證明unl(1)由lim?l取???0,?N,當(dāng)n?N時,n??v2nlun
7、l即lv?u?3lv(n?N)?l?l??nnn2v222n由比較審斂法的推論,得證.??un設(shè)?u與?v都是正項級數(shù),如果lim?l,nnn??vn?1n?1n則(1)當(dāng)0?l???時,二級數(shù)有相同的斂散性??(2)當(dāng)l?0時，若?vn收斂,則?un收斂n?1?n?1?(3)當(dāng)l???時,若?vn發(fā)散則?un發(fā)散;?n?1n?1極限判別法：設(shè)?un為正項級數(shù),n?1如果limnun?l?0(或limnun??)n??n???則級數(shù)?u發(fā)散;nn?1??un設(shè)?un與?vn都是正項級數(shù),如果lim?l,n??vn?1n?1n則(1)
8、當(dāng)0?l???時,二級數(shù)有相同的斂散性??(2)當(dāng)l?0時，若?vn收斂,則?un收斂n?1?n?1?(3)當(dāng)l???時,若?vn發(fā)散則?un發(fā)散;n?1n?1?極限判別法：設(shè)?un為正項級數(shù),n?1p如果有p?1,limnun存在,
