數(shù)學(xué)建模1 -- 七橋問(wèn)題

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1、彰化師大數(shù)學(xué)系梁崇惠編製數(shù)學(xué)建模1--七橋問(wèn)題2003.01.13l柯尼斯堡位於普雷蓋爾河口附近，河上有兩座島，共有七座橋使這兩座島與河的兩岸陸地相通，現(xiàn)在想要找出一條路徑能走遍這七座橋，且每一座橋只能走過(guò)一次。l尤拉(Euler，1707-1783)將該問(wèn)題的圖形簡(jiǎn)化成下圖，每座橋用一條線(xiàn)表示，陸地則以線(xiàn)與線(xiàn)的交點(diǎn)表示。在1736年提出「一筆劃模型」解決原問(wèn)題的要求是不可能做到的。尤拉將這類(lèi)問(wèn)題定義這些由結(jié)點(diǎn)和支線(xiàn)所形成的圖形稱(chēng)為網(wǎng)路圖，分為可以一筆畫(huà)的網(wǎng)路，不可一筆畫(huà)的網(wǎng)路。一個(gè)網(wǎng)路圖要是能一筆畫(huà)，則圖形中的奇結(jié)點(diǎn)一定是0個(gè)或2個(gè)。反過(guò)來(lái)說(shuō)，一個(gè)網(wǎng)路圖的奇結(jié)點(diǎn)是0個(gè)或是2個(gè)時(shí)才

2、能一筆畫(huà)。七橋問(wèn)題中的奇結(jié)點(diǎn)有四個(gè)(A、B、C、D)，所以永遠(yuǎn)沒(méi)辦法一筆完成。1彰化師大數(shù)學(xué)系梁崇惠編製數(shù)學(xué)建模2擲幣遊戲l有一個(gè)市集遊戲，玩家把硬幣投擲在正方形方格的棋盤(pán)上。1.假若硬幣接觸到方格的邊線(xiàn)，他就輸了；2.假如硬幣完全停在方格內(nèi)，玩家可取回他所投擲的該枚硬幣，並贏得一個(gè)等值的硬幣。3.假若硬幣滾離了棋盤(pán)，就重丟一次。請(qǐng)問(wèn)玩家贏得遊戲彩金的機(jī)率是多少？註：與九年一貫數(shù)學(xué)領(lǐng)域有關(guān)的能力指標(biāo)3-3-3能運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)瞭解機(jī)會(huì)。3-4-3能進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，以瞭解機(jī)率、抽樣的初步概念。5-1-1能察覺(jué)生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的情境。5-2-1能把情境中與問(wèn)題相關(guān)的數(shù)量形析出。5-2-2

3、能把情境中數(shù)量形之關(guān)係以數(shù)學(xué)語(yǔ)言表出。5-2-3能把情境中與數(shù)學(xué)相關(guān)的資料資訊化。5-2-4能把待解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的問(wèn)題。5-3-3能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測(cè)、檢驗(yàn)、推演、驗(yàn)證、論證等。5-4-3能用一般語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)明情境與問(wèn)題。5-4-9能回應(yīng)情境共同決定數(shù)學(xué)模型中的一些待定參數(shù)。5-5-3經(jīng)闡釋及審視情境，能重新評(píng)估原來(lái)的轉(zhuǎn)化是否得宜，並做必要的調(diào)整。5-5-5能將問(wèn)題與解題一般化。2彰化師大數(shù)學(xué)系梁崇惠編製擲幣遊戲的活動(dòng)單1.這是個(gè)幾何機(jī)率的問(wèn)題，面對(duì)這種問(wèn)題，通常會(huì)形成一個(gè)關(guān)於問(wèn)題的幾何模型。獲勝的機(jī)率與、、有關(guān)，也就是說(shuō)，正方格的越大，獲勝的機(jī)會(huì)越??；或

4、是硬幣的越小，獲勝的機(jī)會(huì)越大。2.由觀察一個(gè)特殊的例子來(lái)了解問(wèn)題。（1）令硬幣的半徑是1.5公分，棋盤(pán)每個(gè)正方格的邊長(zhǎng)是公分。請(qǐng)?jiān)谀骋粋€(gè)方格內(nèi)，畫(huà)出硬幣的正中心停在哪個(gè)範(fàn)圍內(nèi)，才能獲勝呢？（2）樣本空間是邊長(zhǎng)為公分的正方形，面積為平方公分；獲勝事件空間是一個(gè)邊長(zhǎng)為公分的正方形，面積為平方公分。兩個(gè)區(qū)域的面積之比為：，故玩家獲勝的機(jī)率為。（3）看完特殊例子後，接著考察一般的情形：假設(shè)硬幣的半徑為R，每個(gè)正方格的邊長(zhǎng)為S，則獲勝的機(jī)率P為。3.如何才能使這個(gè)遊戲變成是公平的？棋盤(pán)的每個(gè)正方格邊長(zhǎng)是5公分，請(qǐng)問(wèn)硬幣的半徑多大時(shí)，才可以讓玩家獲勝與輸?shù)舻臋C(jī)率是一樣的。4.實(shí)際測(cè)試上一小題求

5、算的結(jié)果，比較「實(shí)驗(yàn)值」與「理論值」會(huì)相同嗎？實(shí)際丟擲的次數(shù)：次。獲勝的次數(shù)：次。實(shí)驗(yàn)值＝。理論值＝。實(shí)驗(yàn)值與理論值相差。3彰化師大數(shù)學(xué)系梁崇惠編製作業(yè)5.若改成在西洋棋的棋盤(pán)上丟擲硬幣，棋盤(pán)內(nèi)的每個(gè)正方格邊長(zhǎng)為10公分?，F(xiàn)在規(guī)定只有硬幣完全落在白色方格內(nèi)才算獲勝，請(qǐng)計(jì)算對(duì)一枚半徑為1.5的硬幣來(lái)說(shuō)，獲勝的機(jī)率有多大？6.現(xiàn)在把原來(lái)正方格改為正六邊形，正六邊形的邊長(zhǎng)為2公分，硬幣的半徑是1公分，則玩家獲勝的機(jī)率有多大？【此題需國(guó)三學(xué)生以上的程度】7.你拿的是半徑為1公分的硬幣，現(xiàn)在有兩種遊戲紙，一種是邊長(zhǎng)為4公分的正六邊形，另一種是邊長(zhǎng)為4公分的正方形，你知道要選擇哪一個(gè)遊戲板嗎？

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