將軍飲馬系列---最值問(wèn)題

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)“將軍飲馬”系列最值問(wèn)題知識(shí)回顧1.兩點(diǎn)之間，線段最短．2.點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短．3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小魚第三邊．4.分別為同一圓心半徑不等的兩個(gè)圓上的一點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)能取等號(hào)．知識(shí)講解古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，有位將軍不遠(yuǎn)千里專程前來(lái)向海倫求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：如圖，將軍從出發(fā)到河邊飲馬，然后再到地軍營(yíng)視察，顯然有許多走法．問(wèn)怎樣走路線最短呢？精通數(shù)理的海倫稍加思索，便作了完善的回答．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被人們稱作“將軍飲馬”問(wèn)題．下面我們來(lái)看看數(shù)學(xué)家是怎樣

2、解決的．海倫發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)求折線和最短的數(shù)學(xué)問(wèn)題．根據(jù)公理：連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短．若在河流的異側(cè)，直接連接，與的交點(diǎn)即為所求．若在河流的同側(cè)，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，那么顯然要把折線變成直線再解．文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)海倫解決本問(wèn)題時(shí)，是利用作對(duì)稱點(diǎn)把折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線現(xiàn)在人們把凡是用對(duì)稱點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)解題的思想方法叫對(duì)稱原理，即軸對(duì)稱思想軸對(duì)稱及其性質(zhì)：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．這條直線就是它的對(duì)稱軸．這時(shí)我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(或軸)對(duì)稱．如等腰是軸對(duì)稱圖形．把一個(gè)圖形沿

3、著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就是說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)．如下圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，叫做對(duì)稱軸．和，和，和是對(duì)稱點(diǎn)．軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形有如下性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；②對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果他們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上．線段垂直平分線：垂直平分線上點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)已知條件出現(xiàn)了等腰三角形、角平分

4、線、高，或者求幾條折線段的最小值等情況，通?？紤]作軸對(duì)稱變換，以“補(bǔ)齊”圖形，集中條件。所有的軸對(duì)稱圖形（角、線、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓、坐標(biāo)軸），都可以考察“將軍飲馬”問(wèn)題?？疾熘R(shí)點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱”，“線段的平移”。解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問(wèn)題考查。構(gòu)建“對(duì)稱模型”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化常見模型：（1）最小文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（2）①最小②最大【變形】異側(cè)時(shí)，也可以問(wèn)：在直線上是否存在一點(diǎn)使的直線為的角平分線（3）周

5、長(zhǎng)最短類型一類型二類型三（4）“過(guò)河”最短距離類型一類型二（5）線段和最小文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（6）在直角坐標(biāo)系里的運(yùn)用同步練習(xí)【例1】尺規(guī)作圖，作線段的垂直平分線，作的角平分線．文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【變式練習(xí)】已知：如圖，及兩點(diǎn)、．求作：點(diǎn)，使得，且點(diǎn)到兩邊所在的直線的距離相等．【例1】已知點(diǎn)在直線外，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)與、兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例2】如圖，在公路的同旁有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)、，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到、兩倉(cāng)庫(kù)的距離和最短，這個(gè)中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的

6、哪個(gè)位置比較合理？【變式練習(xí)】如圖，、為的邊、上的兩個(gè)定點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最短．文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【例1】如圖，，角內(nèi)有點(diǎn)，在角的兩邊有兩點(diǎn)、(均不同于點(diǎn))，求作、，使得的周長(zhǎng)的最?。纠?】如圖，在內(nèi)部有點(diǎn)和點(diǎn)，同時(shí)能使，這時(shí)在直線上再取點(diǎn)，使從點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離和為最??；在直線上也取點(diǎn)，使從點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離和也最?。C明：．【例3】已知如圖，點(diǎn)在銳角的內(nèi)部，在邊上求作一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到的邊的距離和最小．【例4】已知：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，在上求作一點(diǎn)，使得最小值和最大值．文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【變式練習(xí)】(07年三帆中學(xué)期中試題)如

7、圖，正方形中，，是上的一點(diǎn)，且，是上的一動(dòng)點(diǎn)．求（1）的最小值與最大值．（2）的最小值與最大值．【例1】如圖，分別是邊上的點(diǎn)（均不與點(diǎn)重合），記的周長(zhǎng)為，請(qǐng)作出周長(zhǎng)最小的．課后練習(xí)【習(xí)題1】如圖，在等腰中，，的上一點(diǎn)，滿足，在斜邊上求作一點(diǎn)使得長(zhǎng)度之和最?。玖?xí)題2】如圖，菱形的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)和，點(diǎn)、分別是變、文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)的中點(diǎn)，在對(duì)角線求作一點(diǎn)使得的值最?。玖?xí)題1】如圖，在銳角中，，°，的平分線交于點(diǎn)，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是____．【習(xí)題2】已知⊙的直徑為，的度數(shù)為°，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直徑上找一點(diǎn)，使的值最小，并求

8、的最小值．【習(xí)題3】如圖所示，正方形的面積為，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個(gè)最小值為（）．．．．【習(xí)題4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線是第一、三象限的角平分線．文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)與探究：（1）由圖觀察易知關(guān)于直線的