將軍飲馬系列---最值問題

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1、實用標(biāo)準(zhǔn)“將軍飲馬”系列最值問題知識回顧1.兩點之間，線段最短．2.點到直線的距離，垂線段最短．3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小魚第三邊．4.分別為同一圓心半徑不等的兩個圓上的一點，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時能取等號．知識講解古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，有位將軍不遠(yuǎn)千里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題：如圖，將軍從出發(fā)到河邊飲馬，然后再到地軍營視察，顯然有許多走法．問怎樣走路線最短呢？精通數(shù)理的海倫稍加思索，便作了完善的回答．這個問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題．下面我們來看看數(shù)學(xué)家是怎樣

2、解決的．海倫發(fā)現(xiàn)這是一個求折線和最短的數(shù)學(xué)問題．根據(jù)公理：連接兩點的所有線中，線段最短．若在河流的異側(cè)，直接連接，與的交點即為所求．若在河流的同側(cè)，根據(jù)兩點間線段最短，那么顯然要把折線變成直線再解．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)海倫解決本問題時，是利用作對稱點把折線問題轉(zhuǎn)化成直線現(xiàn)在人們把凡是用對稱點來實現(xiàn)解題的思想方法叫對稱原理，即軸對稱思想軸對稱及其性質(zhì)：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形．這條直線就是它的對稱軸．這時我們就說這個圖形關(guān)于這條直線(或軸)對稱．如等腰是軸對稱圖形．把一個圖形沿

3、著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就是說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點．如下圖，與關(guān)于直線對稱，叫做對稱軸．和，和，和是對稱點．軸對稱的兩個圖形有如下性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；②對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線的垂直平分線；③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果他們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．線段垂直平分線：垂直平分線上點到線段兩個端點的距離相等；到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)已知條件出現(xiàn)了等腰三角形、角平分

4、線、高，或者求幾條折線段的最小值等情況，通?？紤]作軸對稱變換，以“補齊”圖形，集中條件。所有的軸對稱圖形（角、線、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓、坐標(biāo)軸），都可以考察“將軍飲馬”問題?？疾熘R點：“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“點關(guān)于線對稱”，“線段的平移”。解題總思路：找點關(guān)于線的對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。構(gòu)建“對稱模型”實現(xiàn)轉(zhuǎn)化常見模型：（1）最小文檔實用標(biāo)準(zhǔn)（2）①最?、谧畲蟆咀冃巍慨悅?cè)時，也可以問：在直線上是否存在一點使的直線為的角平分線（3）周

5、長最短類型一類型二類型三（4）“過河”最短距離類型一類型二（5）線段和最小文檔實用標(biāo)準(zhǔn)（6）在直角坐標(biāo)系里的運用同步練習(xí)【例1】尺規(guī)作圖，作線段的垂直平分線，作的角平分線．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【變式練習(xí)】已知：如圖，及兩點、．求作：點，使得，且點到兩邊所在的直線的距離相等．【例1】已知點在直線外，點為直線上的一個動點，探究是否存在一個定點，當(dāng)點在直線上運動時，點與、兩點的距離總相等，如果存在，請作出定點；若不存在，請說明理由．【例2】如圖，在公路的同旁有兩個倉庫、，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到、兩倉庫的距離和最短，這個中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的

6、哪個位置比較合理？【變式練習(xí)】如圖，、為的邊、上的兩個定點，在上求一點，使的周長最短．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【例1】如圖，，角內(nèi)有點，在角的兩邊有兩點、(均不同于點)，求作、，使得的周長的最小．【例2】如圖，在內(nèi)部有點和點，同時能使，這時在直線上再取點，使從點到點及點的距離和為最??；在直線上也取點，使從點到點和點的距離和也最?。C明：．【例3】已知如圖，點在銳角的內(nèi)部，在邊上求作一點，使點到點的距離與點到的邊的距離和最小．【例4】已知：、兩點在直線的同側(cè)，在上求作一點，使得最小值和最大值．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【變式練習(xí)】(07年三帆中學(xué)期中試題)如

7、圖，正方形中，，是上的一點，且，是上的一動點．求（1）的最小值與最大值．（2）的最小值與最大值．【例1】如圖，分別是邊上的點（均不與點重合），記的周長為，請作出周長最小的．課后練習(xí)【習(xí)題1】如圖，在等腰中，，的上一點，滿足，在斜邊上求作一點使得長度之和最小．【習(xí)題2】如圖，菱形的兩條對角線分別長和，點、分別是變、文檔實用標(biāo)準(zhǔn)的中點，在對角線求作一點使得的值最?。玖?xí)題1】如圖，在銳角中，，°，的平分線交于點，、分別是和上的動點，則的最小值是____．【習(xí)題2】已知⊙的直徑為，的度數(shù)為°，點是的中點，在直徑上找一點，使的值最小，并求

8、的最小值．【習(xí)題3】如圖所示，正方形的面積為，是等邊三角形，點在正方形內(nèi)，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（）．．．．【習(xí)題4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線是第一、三象限的角平分線．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)實驗與探究：（1）由圖觀察易知關(guān)于直線的